宏观经济研究：消费劳动效用函数研究

在居民的消费-休暇决策中探讨劳动供给弹性才能研究更深入的问题，目前针对中国的消费-劳动效用函数的研究相对较少。我们在本文中探讨了几种效用模式，分别涉及无财富效应的对数形式、CES形式等。 对数效用函数的 R2 为97.94%、CRRA效用函数的 R2 为96.95%、CES效用函数的 R2 为99.56%。但三种效用函数对应的经济特征大相径庭，对数效用函数预示着劳动供给的效用与消费无关，这虽然符合我国居民财富效应不强，财产性收入占比较低的特点。但并没有考虑到劳动能带来收入的增长，增加消费也会提高效用的可能；CES效用函数的问题是相对风险厌恶系数不符合实际，而且不固定。 CRRA效用函数所计算的劳动供给弹性与《中国劳动供给弹性》的结果相近，而且靠近平衡增长路径下的效用模式，主流的劳动-消费效用函数并不适用中国。 综合以上，我们认为中国的劳动-消费效用函数更符合第二种CRRA的模式。 只有当θ=1时，中国的劳动-消费效用函数才会回归到平衡增长路径。 风险提示：国内宏观经济政策不及预期；数据提取不及时；财政政策、货币政策超预期；模型假设较现实条件更严格；模型本身与真实世界存在偏差的风险。 在现代经济理论中常指的发达国家，其消费往往占据着产出的大部分。标准的经济周期理论研究都是基于消费，家庭效用将消费与产出在休暇与劳动的角度上产生了联系。在经济学中，劳动的负效用函数（Utility of Labor Disutility）用于刻画劳动时间增加带来的不适感（如疲劳、压力等）。这类函数通常被引入劳动供给模型，以更贴近现实地分析个体如何在劳动与闲暇之间权衡。 目前针对中国人的劳动还是休暇、消费的效用研究相对较少，魏翔（2006）通过构建闲暇时间-效用函数模型，发现与新古典的观点不同的是，闲暇时间的增加对我国的消费有明显拉动作用。凌晨和张安全（2012）用CRRA效用函数推导出检验理性消费者预防性储蓄动机强度的公式，并发现我国城乡居民确实存在很强的预防性储蓄动机。徐文成、薛建宏和毛彦军（2016）运用对数效用函数构建新凯恩斯DSGE模型，发现消费者偏好和消费能力冲击均对居民消费波动产生影响，但偏好的影响更为显著。张熠、陶旭辉和宗庆庆（2021）用双对数效用函数分析了中国流动人口了“高储蓄”和“高劳动供给”的特征。易祯和朱超（2024）用多种效用函数来分析老年人的低消费、高储蓄现象，认为合理的效用函数为CES形式。 常用的效用函数包括柯布-道格拉斯效用函数、常相对风险规避（CRRA）效用函数、常绝对风险规避（CARA）效用函数、CES（常弹性替代）效用函数等。为了探讨中国的消费-休暇（劳动）效用函数，我们从简单到复杂来分析中国的消费-休暇（劳动）效用函数： 一、对数效用函数 假设企业的投资资本全部来自于私人，家庭的资产为： 𝐴=𝐾 𝑡 𝑡 𝑘𝑡 同时家庭可以获得企业资本的租赁回报率𝑟，因此家庭拥有一定的财富收入。 家庭预算约束： 𝑘𝑡 ( ) =1−𝛿𝐾+𝑊𝐿+𝑟𝐾−𝐶 𝐾 𝑡+1 𝑡 𝑡𝑡 𝑡 𝑡 我们再探讨家庭消费-休暇（劳动）效用： () 𝑈(𝐶,ℎ)=ln(𝐶−𝜗ℎ) 1+∅ ()𝜗ℎ= ℎ1+∅ 其中ℎ为每位劳动者的工作时间，∅为跨期劳动供给弹性的倒数。 家庭最优化问题： ∞ 𝑠 𝑘 ∑𝑚𝑎𝑥 ( 𝛽[ln(𝐶 (−𝜗ℎ ) ( )[1−𝛿𝐾 )+𝜆 +𝑊 ℎ +𝑟 𝐾 −𝐶 𝑡+𝑠 𝑡+𝑠 𝑡+𝑠 𝑡+𝑠 𝑡+𝑠𝑡+𝑠 𝑡+𝑠𝑡+𝑠 𝑡+𝑠 𝑠=0 )] −𝐾 𝑡+1+𝑠 一阶线性条件如下： 1() 𝜗ℎ−𝐶 =𝜆 𝑡 𝑡 ́()𝜗ℎ() 𝜗ℎ−𝐶 𝜆𝑊= 𝑡 𝑡 𝑡 1∅ 1∅ 可得：ℎ=𝑤，其中是跨期劳动供给弹性。 1∅ 如果我们发现中国的相关数据符合跨期劳动供给曲线：ℎ=𝑤，那么就可以间接证明了 中国的消费-劳动效用函数为对数效用函数。由下图拟合情况来看，有接近98%的概率证明中国符合对数效用下的劳动供给函数。如果事实如此，这说明中国的劳动供给弹性与 1∅ 财产性收入无关，没有财富效用，也与消费无关。=0.1，与《中国劳动供给弹性估算》 里的全国口径方程（1）接近。 图表1：中国对数效用下的跨期劳动供给函数 二、CRRA效用函数： 现在我们换用另外一种函数，家庭所受的预算约束均一样，只是效用函数改为了： 1−𝜃 𝑐 ( ) 𝑈𝑐，ℎ= −𝜗（ℎ） 1−𝜃 家庭最优化问题： ∞ 1−𝜃 𝐶( 1−𝜃 𝑠 𝑘 ∑𝑚𝑎𝑥 () −𝜗ℎ+𝜆 ( )[1−𝛿𝐾 )] 𝛽 +𝑊 ℎ +𝑟 𝐾 −𝐶 −𝐾 𝑡+𝑠 𝑡+𝑠 𝑡+𝑠𝑡+𝑠 𝑡+𝑠𝑡+𝑠 𝑡+𝑠 𝑡+1+𝑠 𝑠=0 一阶线性条件如下： 1𝐶 =𝜆 𝑡 𝜃𝑡 ∅𝑡 𝜆𝑊=ℎ 𝑡 𝑡 1∅ 𝑤𝜃𝐶 1∅ 可得：ℎ=()，其中是跨期劳动供给弹性。我们根据《对风险厌恶系数的探讨》的方 法得到最新的相对风险厌恶系数𝜃为1.75，如果代入公式之后发现中国的相关数据符合 1∅ 𝑤𝜃𝐶 跨期劳动供给曲线：ℎ=()，那么就可以间接证明了中国的消费-劳动效用函数为 CRRA效用函数。由下图拟合情况来看，有接近97%的概率证明中国符合CRRA效用下的劳动供给函数。如果事实如此，这说明中国的跨期劳动供给受到消费的影响。尤其是相对风险厌恶系数越高，跨期劳动供给弹性越低（在本文中测算为-0.12）。这与《中国劳动供给弹性估算》城镇劳动供给弹性很近。反映的现实经济规律是居民对未来充满不确定性，对当前消费的偏好低，宁愿多工作少消费也要多储蓄。如果𝜃为1，风险厌恶适中，效用函数会转化为对数函数（下面会有谈到），经济学界主流用此模型。根据我们测算，拟合效果不佳，如图3。这说明主流效用函数并不适用中国状况。 图表2：中国CRRA效用下的跨期劳动供给函数（θ=1.75）图表3：中国CRRA效用下的跨期劳动供给函数（θ=1） 三、CES效用函数： 为了不失一般性，我们用最广泛的效用函数来测算： 1𝜌 𝜌𝑡 𝜌 [ 𝑈(𝐶,ℎ)=𝑎𝐶+(1−𝑎)(168−ℎ) ] 𝑡 𝑡 𝑡 其中𝑎为消费的相对权重，𝜌为替代弹性参数，一周所有时间为168小时，休暇时间为168-h。 家庭最优化问题： ∞ 1𝜌 𝜌𝑡+𝑠 𝑠 𝜌 𝑘 ∑𝑚𝑎𝑥 ([ ] ( )[1−𝛿𝐾 𝛽 𝑎𝐶 +(1−𝑎)(168−ℎ ) +𝜆 +𝑊 ℎ +𝑟 𝐾 𝑡+𝑠 𝑡+𝑠 𝑡+𝑠 𝑡+𝑠𝑡+𝑠 𝑡+𝑠𝑡+𝑠 𝑠=0 )] −𝐶 −𝐾 𝑡+𝑠 𝑡+1+𝑠 一阶线性条件如下： −1𝜌 𝜌−1𝑡 𝜌𝑡 𝜌 [ ] 𝑎𝐶 𝑎𝐶+(1−𝑎)(168−ℎ) =𝜆 𝑡 𝑡 −1𝜌 𝜌𝑡 𝜌−1 𝜌 [ ] 𝜆𝑊=(1−𝑎)(168−ℎ) 𝑎𝐶+(1−𝑎)(168−ℎ) 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 1𝜌−1 𝑎𝑤 所以可得：ℎ=168−𝑐( ) ，其中 是跨期劳动供给弹性。 1−𝑎1−𝜌 下面我们通过对数线性化后构建计量模型来计算跨期劳动供给函数： 168−ℎ1𝑎1𝑙𝑛=+𝑐 (ln𝜌−1 ) 𝑙𝑛𝑤 1−𝑎𝜌−1 拟合结果如下： 图表4：中国CES效用下的跨期劳动供给曲线 168−ℎ𝑙𝑛 𝑐 =−1.038−1.064𝑙𝑛𝑤 𝑅2 =99.56% 由此可以求出𝜌=0.06；𝑎=0.7262。 四、不同效用函数的比较 比较以上三种效用函数，我们都可以看出拟合效果均较佳。对数效用函数的 R2 为97.94%、CRRA效用函数的 R2 为96.95%、CES效用函数的 R2 为99.56%。但三种效用函数对应的经济特征大相径庭，对数效用函数预示着劳动供给的效用与消费无关，这虽然符合我国居民财富效应不强，财产性收入占比较低的特点。但并没有考虑到劳动能带来收入的增长，增加消费也会提高效用的可能；CES效用函数的问题是相对风险厌恶系数不符合实际，而且不固定。 下面我们计算CES效用函数的相对风险厌恶系数： −1𝜌 𝜌−1𝑡 𝜌𝑡 𝜌 ̇ [ ] 𝑈(𝐶)=𝑎𝐶 𝑎𝐶+(1−𝑎)(168−ℎ) 𝑡 −1𝜌 𝜌−2𝑡 𝜌𝑡 𝜌 ̈() [ ] 𝑈𝐶=𝑎(𝜌−1)𝐶 𝑎𝐶+(1−𝑎)(168−ℎ) +𝑎(1 𝑡 −2𝜌 2𝜌−2𝜌𝑡𝑡 𝜌 [ ] −𝜌)𝐶 𝑎𝐶+(1−𝑎)(168−ℎ) 𝑡 𝜌 ̈()𝑈𝐶𝐶𝜃=− ̇()𝑈𝐶 𝐶 ( ) =1−𝜌−𝑎(1−𝜌) 𝜌 𝜌 𝑎𝐶+(1−𝑎)(168−ℎ) 代入上式计算结果，可得𝜃的平均值： ̅ 𝜃=0.23≠1.75 图表5：中国CES效用下的相对风险厌恶系数 虽然CRRA效用函数解决了以上两个问题，但距离平衡增长路径（BGP）仍有一定距离。 在平衡增长路径（BGP）下，消费与劳动的边际替代效应相互抵消（收入效应与替代效 应平衡），要求消费与劳动相互独立（既非替代也非互补）。 根据相对风险厌恶系数公式推导： ̈()𝑈𝐶𝐶𝜃=− ̇()𝑈𝐶 ́𝜕𝑙𝑜𝑔𝑈(𝑐)≫𝜃=− 𝜕𝑙𝑜𝑔𝑐 ́() ≫𝑙𝑜𝑔𝑈𝑐=−𝜃𝑙𝑜𝑔𝑐+𝜗(ℎ) ́ −𝜃 ́ ≫𝑈(𝑐)=𝜗(ℎ)∗𝐶 若𝜃≠1，则可以继续推导 1−𝜃 𝐶 1−𝜃 () () ≫𝑈𝑐=𝜗ℎ∗ 若𝜃=1，则可以推导为： () ≫𝑈𝑐=𝑙𝑜𝑔𝑐+𝜗ℎ () 这个方程就是主流经济学家使用的劳动-消费效用函数。由于中国的𝜃≠1，所以只能选择上面的方程。 我们将中国数据代入公式，可得： 1−𝜃1+∅ 𝐶 ℎ ( ) 𝑈𝑐，ℎ= ∗ 1−𝜃1+∅ 一阶求导后为： 1+∅ 1ℎ∗𝐶 =𝜆1+∅ 𝑡 𝜃𝑡 1−𝜃 𝐶 𝜃−1 ∅𝑡 ℎ∗ =𝜆𝑊 𝑡 𝑡 最后可以得到跨期劳动供给函数： 𝑐1+∅𝑤𝜃−1 ℎ= 𝑐𝑤 从测算的结果可以看出，ℎ=0.024∗，其中∅=−0.982。 最终中国的可持续劳动-消费效用函数为： −0.75 0.018 𝐶 ℎ∗ ( ) 𝑈𝑐，ℎ= −0.75 0.018 图表6：hw/c的走势图 但由于1+∅很小，接近于0，很不稳定，跨期劳动供给弹性接近于-1，使得中国的劳动- () 消费效用函数并不符合平衡增长路径，更接近于单独的消费效用函数。𝜗ℎ如同消费效用函数的系数，反映了对劳动的边际效用，只有当𝜃=1时，中国的劳动-消费效用函数才会回归到平衡增长路径。 综合以上，我们认为中国的劳动-消费效用函数更符合第二种CRRA的模式。 风险提示 国内宏观经济政策不及预期；数据提取不及时；财政政策、货币政策超预期；模型假设较现实条件更严格；模型本身与真实世界存在偏差的风险。