精品文献解读系列（三十四）：Gerber统计法：估计投资组合协方差矩阵的新方法

文献概述：本篇为读者解读的文献是Gerber, S., Markowitz, H. M.,Ernst, P. A.,Miao, Y., Javid, B., & Sargen, P. (2021, July 6)发表的工作论The Gerber statistic: A robust co-movement measure for portfolio optimization。在投资组合优化中，协方差矩阵的准确估计至关重要。传统方法如历史协方差矩阵和Ledoit-Wolf收缩法虽然广泛应用，但在面对极端值和噪声时存在显著局限性。Gerber统计法通过扩展Kendall's Tau，引入阈值以忽略小幅波动和极端值，提供了更稳健的协动性测量方法。本文在Markowitz的均值-方差优化框架下，比较了Gerber统计法与传统方法的性能。 理论介绍：Gerber统计法基于变量自身波动率设计了高低阈值，通过计算2个变量相对于阈值同时运动的频率，来计算变量之间的相关系数，即Gerber统计量，进而计算资产之间的协方差矩阵。对于传统的相关系数，由于只计算同向或反向运动的频率，Gerber统计量对变量间极大的共动性不敏感，同时由于阈值的存在，也会忽略较小的噪音扰动，从而能够提升协方差矩阵估计的准确性，同时也不依赖于样本协方差的输入。 实证结果：在Markowitz的均值方差投资组合优化框架内，针对9种资产，对Gerber统计法估计协方差矩阵的效果进行了实证研究。结果表明，相比于传统的历史协方差以及Ledoit-Wolf (2004)的收缩估计法，使用Gerber统计法估计协方差矩阵在进行资产配置时可以获得更高的收益率和夏普比率。 总结：Gerber统计法在提高累计收益率和夏普比率方面表现优异，表明其在处理金融时间序列数据时的独特优势和实际应用价值。这一新方法为投资组合管理提供了更有效的工具，增强了在复杂市场环境中的适应能力。 风险提示：量化模型失效风险：本篇报告所述文章的结论是基于量化模型和历史数据的得到的，请注意样本外存在失效可能性，详细结论请参考文献原文。 1.文献概述 投资学是一门学术界与业界紧密结合的学科，其中大类资产配置是这种紧密结合的代表。从Markowitz (1952)开创现代投资组合理论开始，学术界为业界提供了丰富的理论参考和方法模型，推动了大类资产配置实践的繁荣发展。为了帮助读者及时跟踪学术前沿，我们推出了“精品文献解读”系列报告，从大量学术文献中挑选出精品论文进行剖析解读，为读者呈现大类资产配置领域最新的思路和方法。 文献来源： Gerber, S., Markowitz, H. M., Ernst, P. A., Miao, Y., Javid, B., & Sargen, P. (2021,July 6).The Gerber statistic: A robust co-movement measure for portfolio optimization. 文献摘要： 本文旨在介绍Gerber统计法，这是一种用于协方差矩阵估计的稳健协动测量方法，可用于构建投资组合。Gerber统计法对Kendall's Tau进行了扩展，它计算的是当振幅超过数据阈值时，序列中同时出现的共动比例。由于该统计量不受极端大和极端小运动的影响，因此特别适用于经常出现剧烈运动和大量噪声的金融时间序列。在Markowitz的均值方差投资组合操作框架内，我们考虑了Gerber统计法与其他两种常用的股票收益协方差矩阵估计方法的性能对比。这两种常用的股票收益协方差矩阵估计方法是：1.样本协方差矩阵（也称为历史协方差矩阵）2. Ledoit-Wolf(2004)提出的样本协方差矩阵收缩法。通过对30年内（1990年1月至2020年12月）9种资产的分散投资组合进行实证分析，我们发现在几乎所有情况下，Gerber统计法的收益率都优于历史协方差以及Ledoit-Wolf(2004)的收缩法。 文献评述： 本文介绍了Gerber统计法，这是一种用于评估投资组合中股票收益协动性的稳健方法。通过扩展Kendall's Tau，Gerber统计法能够忽略小幅度的波动和极端值，专注于“实质性”共动性。在与传统的历史协方差矩阵和Ledoit-Wolf收缩法的比较中，Gerber统计法展示了更优越的性能，在不同风险目标下实现了更高的累计收益率和夏普比率。研究表明，Gerber统计法在实际投资组合优化中具有显著优势，并提供了一个不依赖样本协方差矩阵的更为稳健的替代方法。 2.引言 投资组合构建(Markowitz,1952,1959)依赖于证券收益之间协方差矩阵的可用性。通常，样本协方差矩阵被用作实际协方差矩阵的估计值(Jobson&Korkie,1980)。尽管模型不断改进以减轻计算负担并改善估计值的统计特性，但基于乘积矩的估计方法并不稳健，特别是在收益分布包含极端值时(Tukey,1960;Huber&Ronchetti,2009;Hampel,1968,1974)。稳健估计在一定程度上克服了这些问题(Shevlyakov&Smirnov,2011)。 然而，金融时间序列的噪声大，使得标准稳健技术不适用，可能导致相关性估计失真。Gerber统计法是一种新的共动测量方法，能够忽略低于某一阈值的波动，并限制极端变动的影响，旨在识别“实质性”的共同运动。 本文在Markowitz的均值-方差优化框架下，比较了Gerber统计法与历史协方差矩阵和Ledoit-Wolf(2004)的收缩估计方法的性能。研究显示，Gerber统计法在概念上的关键优势是不依赖于样本协方差矩阵，且在几乎所有情况下收益均优于其他方法。本文的结构如下：第3节介绍Gerber统计法的公式，第4节介绍数据集和回溯测试框架，第5节展示实证分析结果，第6节讨论未来研究方向，第7节总结。 3.Gerber统计法的公式 本节旨在阐述Gerber统计法和相应的Gerber相关矩阵，然后将其转换为Gerber协方差矩阵，输入均值方差投资组合优化器（第3.3节）。首先，我们对Gerber统计法的计算方法进行必要的说明。 3.1基本公式 我们考虑𝑘=1,…,𝐾种证券，t=1,…,T个时间段。让𝑟成为证券𝑘在𝑡时间段的收益率。令统计量𝑚(𝑡)的公式为： 𝑡𝑘 𝑖𝑗 在上述公式中，𝐻是证券𝑘的阈值，计算公式为： 𝑘 𝐻=𝑐∗𝑠 𝑘 𝑘 其中，c是某个分数（通常为0.5，但也可能增加到0.7或0.9），𝑠是证券𝑘收益的样本标准差。当然，在计算阈值时可以使用比标准偏差更稳健的测量方法，但这超出了本报告的范围。 𝑘 观察公式(1)可知： （1）如果序列𝑖和𝑗在时间𝑡同时向同一方向突破阈值，则联合观测值 𝑚(𝑡)设为+1。 𝑖𝑗 （2）如果序列𝑖和𝑗在时间𝑡同时向相反方向突破阈值，则联合观测值 𝑚(𝑡)设为-1。 𝑖𝑗 （3）如果在时间𝑡时至少有一个序列没有突破阈值，则联合观测值 𝑚(𝑡)设为0。 𝑖𝑗 此后，我们将把两个成分在同方向移动时均穿透阈值的资产对称为“一致”资产对，把两个成分在相反方向移动时均穿透阈值的资产对称为“不一致”资产对。 进一步，我们定义一对资产的Gerber统计量为: 𝑇𝑡=1𝑇𝑡=1 ∑∑ 𝑚(𝑡)|𝑚(𝑡)| 𝑖𝑗 𝑔= 𝑖𝑗 𝑖𝑗 c ij d ij 设n为资产𝑖和𝑗的“一致”资产对的对数，n为“不一致”资产对的对数，则公式(3)等价于: 𝑐𝑖𝑗𝑐𝑖𝑗 𝑑𝑖𝑗𝑑𝑖𝑗 𝑛−𝑛𝑔= 𝑖𝑗 𝑛+𝑛 易知，若所有𝑘的阈值𝐻设为零，则(4)中的统计量与Kendall's Tau相同。 𝑘 由于(4)中的Gerber统计量依赖的是同时突破阈值的次数，而不是突破阈值的程度，因此它对变量的极端变动不敏感。同时，由于一个序列必须在超过阈值后才会被计算（即𝑚的值为+1或-1），因此Gerber统计量对可能只是噪音的微小变动也不敏感。 𝑖𝑗 3.2 Gerber矩阵 现在我们来讨论Gerber矩阵𝑮，即第𝑖行，第𝑗列中是Gerber统计量𝑔的矩阵。让我们定义𝑹∈R 𝑖𝑗 T×K 为收益率矩阵，其第𝑡行和第𝑘列的条目 为𝑟。此外，让𝑼成为一个指标矩阵，其大小与𝑹相同，用于表示超过上限阈值的回报，其元素为𝑢，即： 𝑡𝑘 𝑡𝑗 根据这一定义，超过上限阈值的样本数的矩阵为： UU ⊤ 𝑵 =𝑼𝑼. UU UU ij 𝑵的第𝑖𝑗个元素n阈值的样本数。 是时间序列𝑖超过上阈值和时间序列𝑗同时超过上 设𝑫是一个指标矩阵，其大小与𝑹相同，用于表示低于下临界值的收益，其元素𝑑为 𝑡𝑗 低于下限的样本数矩阵可写成： DD ⊤ 𝑵 =𝑫𝑫. DD DD ij 𝑵 的第𝑖𝑗个元素n 是时间序列𝑖低于低阈值和时间序列𝑗同时低于低 阈值的样本数。 有了(5)和(6)，包含一致数对的矩阵为： UU DD ⊤ ⊤ 𝑵 =𝑵 +𝑵 =𝑼𝑼+𝑫𝑫 CONC 包含不一致数对的矩阵为： ⊤ ⊤ 𝑵 =𝑼𝑫+𝑫𝑼 DISC 现在，我们可以用下面的矩阵形式写出与(4)中的Gerber统计量相对应的Gerber matrix𝑮： 𝑮=(𝑵 −𝑵 )⊘(𝑵 +𝑵 ) CONC DISC CONC DISC 其中符号⊘代表Hadamard除法。相应的Gerber协方差矩阵𝚺为： 相应定义 𝐆𝐒 𝚺 =diag(𝝈)𝑮diag(𝝈) 𝐆𝐒 其中，𝛔是历史资产收益率样本标准差的N×1向量。 证券收益的协方差矩阵必须是半正定的。然而，在处理真实数据时，我们发现(9)中的协方差矩阵往往不是半正定的。我们进而开发了Gerber统计量的另一种形式，它能产生一个半正定的协方差矩阵。 在讨论Gerber统计量的修正形式时，我们首先考虑下表1中两只证券之间关系的图形表示。在该表中，字母U代表证券收益率高于上阈值（即上涨）的情况，字母N代表证券收益率介于上阈值和下阈值之间（即中性）的情况，字母D代表证券收益率低于下阈值（即下跌）的情况。在表1中，行代表证券𝑖的分类，列代表证券𝑗的分类。行与列之间的界限是所选的阈值。例如，如果在t时刻，证券𝑖的收益率高于上阈值，则该观测值位于顶行。如果在同一时间t，证券𝑗的收益率位于两个阈值之间，则该观测值位于中间一列。因此，该具体观测值将位于UN区域。 𝑝𝑞𝑖𝑗 在𝑡=1,…,𝑇的历史中，会有观察结果分散在9个区域中。设𝑛 为证 券𝑖和𝑗的收益率分别位于𝑝和𝑞区域的观测值的数量，条件为𝑝,𝑞∈{𝑈,𝑁,𝐷}。有了这个符号，我们就可以写出与（4）中的统计量等价的表达式，即： UU ij UU ij DD ij DD ij UD ij UD ij DU ij DU ij n n +n+n −n+n −n+n g= ij 如前所述，我们必须改变(4)中的分母，以获得Gerber矩阵，从而得到半正定的相应协方差矩阵。根据下文第3.3节对Gerber统计量的说明，我们的另一种选择是： UU ij DD ij UD ij NN ij DU ij n g= +n −n T−n −n ij （本文2019年版（Gerber et al. (2019)）中记载的另一种选择是： UU ij DD ij UD ij(A)(B)ij ij DU ij n +n −n −n (A)ij UU ij UN ij UD