精品文献解读系列（三十二）：如何选择业绩评价指标

投资学是一门学术界与业界紧密结合的学科，其中大类资产配置是这种紧密结合的代表。从Markowitz（1952）开创现代投资组合理论开始，学术界为业界提供了丰富的理论参考和方法模型，推动了大类资产配置实践的繁荣发展。为了帮助读者及时跟踪学术前沿，我们推出了“精品文献解读”系列报告，从大量学术文献中挑选出精品论文进行剖析解读，为读者呈现大类资产配置领域最新的思路和方法。 本篇为读者解读的文献是Cheriditoand Kromer（2013）在Journal of Investment Strategies上发表的论文“Reward-risk ratios”。 本报告引入了三类全新的回报风险比率，并依据单调性、拟凹性、数乘不变性和唯分布依赖性四个维度，将其和既有的业绩评价指标进行了全面对比。由于这三类回报风险比率都满足单调性和拟凹性，因此将其作为业绩评价指标时，能有效兼顾组合收益和持仓多样性。而出于计算便宜性的考虑，本报告引入的第二类指标还满足数乘不变性，第三类指标则只依赖于收益率的概率分布。基于上述分析，我们在本报告的第二部分对各种常见的业绩评价指标分门别类，着重比较了它们的差异，并特别论证了为何Sharpe比率虽然是最常见但却并不见得是最合理的组合业绩度量的原因。 投资组合业绩评价的核心莫过于选择合适的评价指标。本报告不仅引入了三类全新的回报风险比率，还依据单调性、拟凹性、数乘不变性和唯分布依赖性的四维视角，对各种指标进行了综合比较，值得战略、战术配置投资者借鉴参考。 1.文献概述 文献来源： Cheridito, P., and Kromer, E. Reward-risk ratios. Journal of Investment Strategies (2013). 文献摘要： 本报告引入了三类全新的回报风险比率，并依据单调性、拟凹性、数乘不变性和唯分布依赖性四个维度，将其和既有的业绩评价指标进行了全面对比。由于这三类回报风险比率都满足单调性和拟凹性，因此将其作为业绩评价指标时，能有效兼顾组合收益和持仓多样性。而出于计算便宜性的考虑，本报告引入的第二类指标还满足数乘不变性，第三类指标则只依赖于收益率的概率分布。基于上述分析，我们在本报告的第二部分对各种常见的业绩评价指标分门别类，着重比较了它们的差异，并特别论证了为何Sharpe比率虽然是最常见但却并不见得是最合理的组合业绩度量的原因。 文献评述： 投资组合业绩评价的核心莫过于选择合适的评价指标。本报告不仅引入了三类全新的回报风险比率，还依据单调性、拟凹性、数乘不变性和唯分布依赖性的四维视角，对各种指标进行了综合比较，值得战略、战术配置投资者借鉴参考。 2.引言 回报风险比率（reward-risk ratio，RRR）在组合业绩评估中被广泛使用。 但并非所有的回报风险比率都拥有良好的结构性质。例如，Sharpe比率就不具备单调性，因此利用其作为业绩评价指标在一定程度上会导致投资决策反而更加青睐收益率更低的投资策略，相关分析参见Aumannand Serrano（2008）。在本报告中，我们要求每一种业绩评价指标至少满足单调性（monotonicity）和拟凹性（quasi-concavity）。单调性可以理解为收益的方向性，简单来说就是多胜于少，拟凹性可以理解为效用的均衡性，更关注收益率的均值而非极值。和Sharpe比率一致，许多既有的业绩评价指标都满足数乘不变性（scale-invariance）和唯分布依赖性（distribution-based）。需要注意的是，数乘不变性有时能简化计算，但并不能从决策理论的基本原则之中直接导出。显然，如果回报的分布函数事前已知，那么只依赖于其的业绩度量将非常有意义。但在实际场景中，意外事件的分布函数并不能被准确估计，故而策略之间的偏好关系并不会只是依是依赖于收益率的分布信息，参见Klibanoff et al.（2005）、Maccheroni et al.（2006）或者Drapeau and Kupper（2013）。 在本报告中，我们将引入三类具备良好性质的回报风险比率并将其和既有的业绩评价指标进行对比。第一类指标可以视为特定概率测度下的期望收益，它们满足单调性和拟凹性，但通常不满足数乘不变性。它们通常需要利用比收益率分布更多的信息。第二类指标拥有和第一类指标类似的性质，由于在风险度量的计算上满足正齐次性，因此它们通常还满足数乘不变性。第三类指标作为第二类指标的一个子类，可以视为畸变期望之间的比值，并且该类指标只与收益的概率分布有关。本报告还列出了一些不满足单调性或者拟凹性的业绩评价指标，尽管它们被广泛接受和使用。特别的我们将会看到，以Sharpe比率为代表的均值偏差比率并不满足单调性。 3.定义和基础知识 在符号上，我们有 (Ω,ℱ, ℙ) =𝒳𝔼{𝔼 概率空间 = (Ω,ℱ, ℙ)上随机变量组成的凸集= 𝔼= ℙ测度下的期望= ℚ测度下的期望 ℙ ℚ 对于不同的随机变量X和Y，其大小关系是指在概率测度ℙ的意义下成立，即： X ≥ Y ⇔ ℙ[X ≥ Y] = 1 在本报告中，任取 X ∈ 𝒳 均将其视为期限 T ∈ ℝ ≥0 上的金融资产回报。例如，X的具体形式可以是 V V,V V, V− V, V T 0 T 0 − 1 T T 中的任何一种，其中下标分别对应于期初0和期末T。进一步地，对于某个给定的基准组合B，X可能形如： VVB, BVB V B V− V T T T0 0T T T 0 0 , V− B,V− V− B+ B, , T T T T B− B V− 1, V BV− V− , B V B B− B T T T 0 T 0 T T 本报告的主要研究对象是满足如下形式的回报风险比率： + + α(X) = θ(X)/ρ(X) 其中 θ, ρ: 𝒳 → ℝ ∪ {±∞} 分别称为回报测度和风险测度，分子和分母上的加号 + x= max(x, 0) = 𝑥 ∨ 0 为正向截断函数。相似地，我们可以定义 − x= − min(x,0) = −(𝑥 ∧ 0) 特别地，为了使得X的具体形式都是良定义的，我们约定 ∞ 0= 0 = ∞ 0 本报告的回报风险比率必须满足如下公理： （M）单调性（monotonicity）：𝐗, 𝐘 ∈ 𝓧, 𝐗 ≥ 𝐘 ⇒ 𝛂(𝐗) ≥ 𝛂(𝐘)。 （Q） 拟凹性（quasi-concavity）：𝐗, 𝐘 ∈ 𝓧, 𝛌 ∈ [𝟎, 𝟏] ⇒ 𝛂(𝛌𝐗 + (𝟏 −𝛌)𝐘) ≥ 𝛂(𝐗) ∧ 𝛂(𝐘)。 简单来说，单调性意味着在收益层面多优于少，拟凹性意味着在风险层面鼓励分散。特别地，拟凹性对应的风险厌恶意味着此时的回报风险比率更加关注平均值而非极端值，参考Schmeidler（1989），Cerreia-Vioglio et al.（2011）或者Drapeauand Kupper（2013）。否则，对于非拟凹的业绩评价指标，将会导致风险的集中而非分散，参见Artzneret al.（1999）。 而在既有的文献中，许多回报风险比率还满足 （S） 数乘不变性 （scale-invariance）：𝐗 ∈ 𝓧, 𝛌 ∈ (𝟎, ∞), 𝛌𝐗 ∈ 𝓧 ⇒𝛂(𝛌𝐗) = 𝛂(𝐗)。 （D）唯分布依赖性（distribution-based）:𝐗 ∈ 𝓧 ⇒ 𝛂(𝐗) = 𝛂(𝐅)，其中𝐅: ℝ → [𝟎, 𝟏]是随机变量X的累计分布函数。 𝐗 𝐗 需要指出的是，（S）性质虽然能够在一定程度上简化计算，但是回报风险比率与回报的大小无关这一性质，其实既无经济学的解释也无决策论的支撑。Chernyand Madan（2009）对单调的、拟凹、数乘不变度量给出了一个刻画。而性质（D）则是一个比较自然的“信仰”：如果我们将观察数据得到的经验分布视为真实的话，参见Beutnerand Zahle（2010），Pflugand Wozabal（2010）或者Belomestnyand Kratschmer（2012）。但对于很多金融场景，不确定事件的概率分布是未知的，因此模型的参数估计与其追求准确，不如采用更加稳健的方法考虑参数的动态匹配问题。 对于上述情况，追求唯分布依赖性是没有道理的。 利用回报风险比率同回报测度以及风险测度的关系，可以得到： 命题I：设 + + 𝛂(−) = 𝛉(−)/𝛒(−)𝛌 > 𝟎, {𝐗, 𝐘, 𝛌𝐗} ⊂ 𝓧 1.取X≥Y，如果始终有θ(X)≥θ(Y)而且ρ(X)≤ρ(Y)，那么α满足单调性（M）。 2.如果θ凹ρ凸，那么α满足拟凹性（Q）。 3.如果ρ(λX)=λρ(X),θ(λX)=λθ(X)，那么α满足数乘不变性（S）。 4.如果ρ,θ满足（D），那么α满足唯分布依赖性（D）。 证明：1、3、4是直接的结论，下面仅证明2。如果 α(X) ∧ α(Y) = 0 那么结论自然成立，否则 α(X) ∧ α(Y) > 0 ⇒ θ(X) ∧ θ(Y) > 0 ⇒ θ(X), θ(Y) > 0 而利用θ的凹性可以得到： + + + + θ(λX + (1 − λ)Y)≥ (λθ(X) + (1 − λ)θ(Y))= λθ(X)+ (1 − λ)θ(Y)= λα(X)ρ(X)+ (1 − λ)α(Y)ρ(Y)≥ (α(X) ∧ α(Y))(λρ(X)+ (1 − λ)ρ(Y) + + + + ) + + ≥ (α(X) ∧ α(Y))(λρ(X) + (1 − λ)ρ(Y))≥ (α(X) ∧ α(Y))(λρ(λX + (1 − λ)Y)) 4.三类回报风险比率 本节将引入三类回报风险比率，它们之间的关系是 稳健回报风险比率（RRRR）⊂（M）∩（Q）稳健期望比率（RER）⊂（M）∩（Q）∩（S） 畸变回报风险比率（DRRR）⊂（M）∩（Q）∩（S）∩（D） 4.1.稳健回报风险比率（robustRRRs） 假设𝒫, 𝒬是两个非空的概率测度，且关于ℙ绝对连续。定义 β/p +p (𝔼 ) θ(X) = inf𝔼[X], ρ(X) = sup [((m − X) ]) , m ∈ ℝ, p, β ≥ 1 ℚ ℚ ℚ∈𝒫 ℚ∈𝒬 此时需要适当选择𝒳使得所有的期望存在且有限。此时 θ: 𝒳 → {−∞} ∪ ℝ 显然是满足（M）+（S）的凹函数；而 ρ: 𝒳 → ℝ ∪ {∞} ≥0 为凸函数，并且满足 X ≥ Y ⇒ ρ(X) ≤ ρ(Y) 根据命题I，我们知道回报风险比率满足（M）+（Q） + ( inf [X]) 𝔼 ℚ ℚ∈𝒫 α(X) = ⇒ α ∈ (M) ∩ (Q) β/p +p (𝔼sup ) [((m− X) ]) ℚ ℚ∈𝒬 此类回报风险比率被称为稳健回报风险比率（RRRR）。可以证明 （a）𝒫 = 𝒬 = {ℙ} ⇒ α ∈ (M) ∩ (Q) ∩ (D) （b）m = 0, β = 1 ⇒ ρ(λX) = λρ(X) ⇒ α ∈ (M) ∩ (Q) ∩ (S) SortinoandSatchell（2001）引入的Sortino-Satchell比率（Sortino-Satchell ratio）就满足（a）+（b），形如 + − ‖ SSR(X): = (𝔼[X])/‖X ,p ≥ 1 p 该指标满足（M）+（Q）+（S）+（D）。p=1时的特例，即是Bernardo and Ledoit（2000）引入的得失比率（gains-lossratio，G