精品文献解读系列（二十七）：如何通过VaR确定风险厌恶系数

投资学是一门学术界与业界紧密结合的学科，其中大类资产配置是这种紧密结合的代表。从Markowitz（1952）开创现代投资组合理论开始，学术界为业界提供了丰富的理论参考和方法模型，推动了大类资产配置实践的繁荣发展。为了帮助读者及时跟踪学术前沿，我们推出了“精品文献解读”系列报告，从大量学术文献中挑选出精品论文进行剖析解读，为读者呈现大类资产配置领域最新的思路和方法。 本篇为读者解读的文献是Bodnar et al（2018）在Computational Management Science上发表的论文“Determination and estimation of risk aversion coefficients”。 本文考虑了投资组合配置问题中常用的两类效用函数，即指数效用（exponential utility）函数和二次效用（quadratic utility）函数。利用最优化框架，本文得以将不同效用函数下的最优投资组合和VaR（value at risk）相联系，并最终将风险厌恶系数表达为VaR的解析表达式。本文首先假设资产收益向量为多元正态分布，然后将结果推广到椭圆等值分布族上。本文发现风险厌恶系数的选择与收益率数据的生成模型有关。最后，本文考虑了模型中参数的不确定性，并给出了风险厌恶系数的置信区间。 在MVO中，风险厌恶系数通常被视为外生变量，但本文另辟蹊径给出了其与风险度量VaR之间的函数关系，值得战略资产配置投资者借鉴。 1.文献概述 文献来源： Bodnar, T. , et al. "Determination and estimation of risk aversion coefficients."Computational Management Science 15.2(2018):1-21. 文献摘要： 本文考虑了投资组合配置问题中常用的两类效用函数，即指数效用（exponentialutility）函数和二次效用（quadraticutility）函数。利用最优化框架，本文得以将不同效用函数下的最优投资组合和VaR（valueat risk）相联系，并最终将风险厌恶系数表达为VaR的解析表达式。本文首先假设资产收益向量为多元正态分布，然后将结果推广到椭圆等值分布族上。 本文发现风险厌恶系数的选择与收益率数据的生成模型有关。最后，本文考虑了模型中参数的不确定性，并给出了风险厌恶系数的置信区间。 文献评述： 在MVO中，风险厌恶系数通常被视为外生变量，但本文另辟蹊径给出了其与风险度量VaR之间的函数关系，值得战略资产配置投资者借鉴。 2.引言 风险厌恶系数量化了投资者对风险的态度，虽然在配置模型中被广泛应用，但它的具体选择通常较为主观，很难使用经济推理加以规范。本文将尝试将通过VaR系数对其进行估计。 风险厌恶系数的确认离不开对效用函数的建模。但基于数学和经济的考虑，通常使用的效用函数主要有两类，即二次效用和指数效用。假设投资组合的权重向量为 T T ) w = w = (w,… , w :1⋅ w = 1 k×1 k 两种效用函数分别为： γ− γ quad quad 2 w T T (R) = R U ⋅ R= X w − ⋅ (Xw) quad w w −γ ⋅R exp w (R) = 1 − e U exp w 其中 T ) X = X{ = (X,… , X R= X w k×1 w 1 T k 分别代表资产的收益率和对应的投资组合的收益率，不同下标的γ对应的即两种不同的风险厌恶系数。可以证明，如果资产收益服从多元正态分布，那么指数型效用函数的最优解等同于 γ2 mu T T U (R) = μw − ⋅ wΣw mu w 其中 μ = 𝔼(X){ Σ = Cov(X) 分别是期望收益率和协方差矩阵。需要指出的是，在正态假设下，虽然上述三种效用模型的数学模型是等价的，但是其随机性质是有差异的，详情参见Bodnaret al（2013）。 在实践中，由于风险厌恶系数的选择难以量化，利用市场数据对风险厌恶系数进行估计的研究已不多见。虽然如此，将风险厌恶系数和VaR关联起来的想法并不新鲜，这是因为使用VaR的置信系数比抽象的风险厌恶系数更容易表征对风险的态度。但在已有的文献之中，通常都假设资产收益是高斯的，且是效用函数为二次函数。例如Das et al（2010）和Alexander and Baptista（2011）。 本文考虑前述两种不同的效用函数，并将资产收益的结果从多元正态推广到椭圆分布上。更准确地说，本文将把由特定效用函数得到的最优投资组合的解析表达式与最小VaR最优投资组合联系起来。后一个投资组合将由依据监管建议的确定显著性系数α来决定。因此本文量化了投资者对不同效用函数下，且在不同但更加实际的收益分布假设下的风险态度。而本文的实证研究证明实践中常用的风险厌恶系数的数值是合理的。 3.正态分布下的风险厌恶 假设资产收益满足多元正态： (μ,Σ) X ∼ N k 假设最优化目标分别为 ∗ quad (R)) w = arg max𝔼 (U quad w T 1w=1 ∗exp (R)) w = arg max𝔼 (U exp w T 1w=1 Merton（1969）证明，在上述假设下，指数效用函数的最优解等价于前述U给出的解，并且被如下参数所决定 mu T−1 1Σμ= R GMV T−1 1Σ1 1 1Σ1 V{ = GMV T−1 T−1 s = μRμ 其中 −1 T−1 Σ11Σ− −1 R = Σ T−1 1Σ1 GMV（globalminimum variance）代表全局最小方差投资组合，R V 和 GMV 分别代表其期望收益率和方差（两者共同决定了有效前沿的顶点位置），而s代表了有效前沿的斜率参数。利用数学知识，可以得到指数效用函数对应的最优解： GMV −1 Σ1 ∗exp −1 exp w = + γ1Σ1 ⋅ Rμ T−1 而二次效用函数的表达式稍微复杂： −1 A1 ∗ quad −1 quad w = + γ1A 1 ⋅ Rμ T−1 其中 T−1 A = 𝔼(XX) A11 A− T−1 { −1 R= A T−1 1A 1 特别的，Bodnaret al（2012）证明了最优权重的另外一种形式： −1 Σ1 ∗ quad −1 quad w = + γ̃1Σ1 ⋅ Rμ T−1 其中 1 + s− 1 − R γ̃ = quad −1 quad γ GMV 下面我们回顾最小VaR投资组合的公式。注意到VaR的计算等于概率： T ) = 1 − α, α ∈ (0.5,1) ℙ(Xw < −VaR α 若收益率为多元正态，那么 T T VaR= −μw − z ⋅ √wΣw α 1−α 其中 −1 z= Φ(β) β 代表的是标准正态分布的 β-分位数。 通常α的取值要大于0.95。 AlexanderandBaptista（2002）则提出了如下规划问题 ∗ VaR,α w = arg maxVaR α T 1w=1 而该投资组合有这非常好的样本外表现。进一步地，Bodnar et al（2012）给出了上述规划问题解的形式如下 V z GMV 2 1−α ∗ VaR,α w = w + √ ⋅ Rμ− s GMV 下面我们略作总结： ∗ quad ∗exp ∗ VaR,α 1.w , w , w 都落在Markowitz的有效前沿上。 2.上述三种最优投资组合在形式上都具有相同的内部结构。 于是有定理： 定理1设 𝟐 𝟏−𝛂 𝐗∼𝐍(𝛍,𝚺)且𝐳 >𝐬 𝐤 则两种风险厌恶系数可以被VaR及置信系数α表达为 𝟐 𝟏−𝛂 𝐆𝐌𝐕 𝐳√= −𝐬 𝛄 𝐞𝐱𝐩 𝐕 −𝟏 𝟏+𝐬+𝛄 ( =𝟏+𝐑 ) 𝛄 𝐪𝐮𝐚𝐝 𝐆𝐌𝐕 𝐞𝐱𝐩 通过定理1可以看到，α实际上在一定程度上反映了投资者的风险厌恶系数。当α很高的时候，极端损失金额将被关注，这意味着此时的投资者将有较高的风险厌恶系数；而α很低的时候，投资者更关注一般情况下损失金额，因此对极端损失金额较为迟钝，这表明投资者的风险厌恶系数相对适度。 乍看之下，风险厌恶系数对有效前沿特征的依赖着实出人意料。然而从直观的角度来看，投资者显然会对特定的风险的类型和数量产生差异化的厌恶，这意味着γ绝非常数。在面对风险很高的投资组合时，相比于风险中等的投资组合，投资者的冒险意愿显然将会更低。注意到投资者对风险的态度取决于有效前沿，而其在均值-方差空间中的位置和形状完全由R、V和s三个参数决定，故而风险厌恶实数对这些参数的依赖也就不足为奇。 GMV GMV 4.椭圆分布下的风险厌恶 椭圆等高分布（elliptically contoured distribution，ECD）的密度函数满足 T−1 (x) = c (x − μ)) , c f ⋅ g ((x − μ)D > 0 X k k 其中g称该分布的类型函数，符号上记为： X ∼ E(μ, D, g) k 其中μ称为位置向量（location vector），D称为散布矩阵（dispersion matrix）。假设X的二阶矩存在，那么有 μ = 𝔼(X)以及Σ = Cov(X) = ωD 以及ECD的随机表达 1/2 X ≜ μ + rD Z其中Z ∼ N(0,I) k k 同正态分布的例子一样，对于ECD同样有 γw − γw − quad quad T T T T (R)) = 𝔼(X) ) = μ 𝔼 (U ⋅ 𝔼((Xw) ⋅ wΣw quad w 而对于指数期望效用函数，利用 T T R|r ∼ N(μw, r w Dw) w 满足 −γ ⋅R −γ ⋅R exp w exp w (R)) = 1 − 𝔼(e ) = 1 − 𝔼 (𝔼(e |r)) 𝔼 (U exp w 1⋅μw+γ2 T 2 exp T −γ ⋅wDw⋅r exp ) = 1 − 𝔼 (e 2 exp T T γ2 ⋅wDw −γ ⋅μw exp ) = 1 − e ⋅ 𝔼 (e 2 exp T γ( ⋅ wDw 2 T −γ ⋅μw exp ) = 1 − e ⋅ m r 2 exp T γ( ⋅ wΣw 2𝔼(r) T −γ ⋅μw exp ) = 1 − e ⋅ m r 其中 t⋅r (t) = 𝔼(e ) m r 是相应的矩生成函数。利用对数的单调性，此时的规划问题等价于解： 2 exp T γ( ⋅ wΣw)2𝔼(r ∗ell T −1 exp ) w = arg maxμw − γ ⋅ log m r T w1=1 引理1设𝐗∼𝐄(𝛍,𝐃,𝐠)且𝐦𝟐(⋅)为对应的矩生成函数，则 𝐤 𝐫 −𝟏 𝚺𝟏 ∗𝐞𝐥𝐥 −𝟏𝐞𝐱𝐩 𝐰 = +𝛄̃𝟏𝚺𝟏 ⋅𝐑𝛍 𝐓−𝟏 而以κ为未知数的微分方程 𝟐𝐞𝐱𝐩 𝟐 𝟐 (⋅𝐕 )+𝛋⋅𝐬()𝟐?