小波分析“手术刀”：波动与趋势的量化剥离及策略应用

小波分析“手术刀”：波动与趋势的 量化剥离及策略应用 中泰证券金融工程 李倩云证券分析师执业证书编号：S0740520050001邮 箱：liqy02@zts.com.cn 张天伦证券分析师执业证书编号：S0740525070005邮 箱：zhangtl01@zts.com.cn 研究内容 本研究聚焦于以宽基指数成分股为样本池进行选股并构建多头组合，核心在于应用小波分析实现对成分股收盘价的精准预测与投资组合的优化筛选。 成功构建了一套融合多模型的指数成分股投资策略，形成了从数据分层剥离处理（小波分解）、趋势预测与波动捕捉（ARIMA 与 GARCH）到组合构建协同作用的完整流程。并且通过回测验证了该策略的有效性，为实际投资提供了可操作的策略方案。 该策略在不同风格的宽基指数成分股上均能有效应用，无论是大盘蓝筹股（沪深 300）、中盘成长股（中证 500）还是综合型指数（中证 800），策略均能稳定获取超额收益，证明了策略的广泛适用性。 风险提示：报告资料均来源于公开数据，分析结果通过历史数据统计、建立模型和测算完成，在政策、市场环境等发生变化时模型存在失效的风险。 主要结论 •小波分析在金融时间序列处理中展现出显著优势，通过三级分解能够有效分离股价数据中的趋势成分（近似分量 cA3）与波动成分（细节分量 cD1），为后续不同模型的精准预测奠定基础，避免了单一模型难以同时处理趋势与波动的局限性。 •ARIMA 模型在成分股收盘价近似分量预测中表现良好，能够充分捕捉股价的长期趋势特征，其预测结果为股价的整体走势判断提供可靠依据；AR -GARCH 模型则能有效刻画细节分量的波动聚集性与异方差性，提升了对股价短期波动的预测精度。 •基于预测数据计算的夏普值筛选标准，能够有效筛选出风险调整后收益较高的成分股。构建的投资组合在回测期间内，沪深 300、中证 500、中证 800 指数对应的策略净值均显著跑赢各自基准指数，且在年化收益率、最大回撤、波动率等关键风险收益指标上均显著优于基准（以中证800指数成分股选股为例，策略回测期末净值达指数的3.05倍，夏普值为指数的5.74倍，最大回撤仅为指数的55%），验证了该策略的有效性与实用性。 风险提示：报告资料均来源于公开数据，分析结果通过历史数据统计、建立模型和测算完成，在政策、市场环境等发生变化时模型存在失效的风险。 一、主流趋势模型在时间序列应用中的异同与优势 目录 二、小波分析详解 三、核心预测模型与小波分解 – 重构过程 C O N T E N T S 四、策略回测结果与分析 CCONTE中 泰 证 券 研 究 所主流趋势模型在时间序列应用中的异同与优劣 HP 滤波（Hodrick-Prescott Filter） •在金融时间序列分析与预测中，HP 滤波、傅立叶变换与小波分析是三种常用的重要工具，它们在数据处理逻辑、适用场景及分析效果上存在显著差异。 •HP 滤波（Hodrick-Prescott Filter）是一种基于最小二乘法的时间序列分解方法，其核心思想是通过最小化时间序列的波动成分，分离出序列的趋势成分与周期波动成分。其目标函数为 •其中𝑌௧为原始时间序列,𝑇௧为趋势成分，λ为平滑参数，用于控制趋势成分的平滑程度。在金融时间序列中，通过调整𝜆的值，可改变趋势成分对原始数据的拟合程度。 HP 滤波（Hodrick-Prescott Filter）的优势 •计算简便：HP 滤波的数学原理相对简单，计算过程易于实现，无需复杂的矩阵运算或积分变换，在普通统计软件（如EViews、Stata）中均可直接调用相关函数进行操作，降低了应用门槛。 •趋势提取直观：对于平稳性较好、波动相对温和的金融时间序列（如货币市场利率、债券收益率），HP 滤波能够清晰地提取出长期趋势成分，帮助投资者直观把握数据的长期运行方向，适用于宏观金融趋势分析与政策效果评估。 HP 滤波（Hodrick-Prescott Filter）的缺陷 •分解维度：HP 滤波仅能将时间序列分解为趋势成分与周期波动成分，分解维度单一，无法像傅立叶变换和小波分析那样从频率维度对数据进行多尺度分解。 •频率处理：HP 滤波不直接涉及频率概念，其对周期成分的提取是基于数据的整体波动特征，而非针对特定频率区间的成分，无法精准捕捉不同频率的波动模式。 •适应性：HP 滤波对平滑参数𝜆的依赖性较强，不同的𝜆值会导致分解结果产生较大差异，且对于具有突变特征或非平稳性较强的金融时间序列（如股价急涨急跌时期），分解效果较差，容易出现趋势成分跟随波动成分“漂移”的现象。 傅立叶变换（Fourier Transform） •傅立叶变换（Fourier Transform）是一种将时间序列从时域转换到频域的数学工具，其核心思想是将任何满足一定条件的周期性时间序列表示为不同频率的正弦函数和余弦函数（傅立叶基函数）的线性组合。对于连续时间序列f(t)，其傅立叶变换为 •其中，𝐹𝜔为频域函数，𝜔为角频率，𝑒ି௜ఠ௧= cos𝜔𝑡− 𝑖 sin𝜔𝑡为复指数函数。通过傅立叶变换，可得到时间序列在不同频率下的振幅和相位信息，从而识别出序列中的主要周期成分。 •与小波分析类似，傅立叶变换均基于频率分析的思想，能够从频率维度对时间序列进行分解，提取不同频率的成分，适用于具有周期性特征的金融时间序列分析。 傅立叶变换（Fourier Transform）的优势 •周期识别精准：对于具有明显周期性的金融时间序列（如大宗商品价格的季 节 性 波 动、 股 市 的 周 期性 牛 熊 转换），傅立叶变换能够精准识别出主要周期成分的频率和振幅，帮助研究者把握市场的周期性规律，为中长期投资决策提供依据。例如，通过对黄金价格的傅立叶变换，可识别出其存在 3 年、5 年等主要周期，为黄金投资的周期配置提供参考。 •频域分析全面：傅立叶变换能够将时间序列的全部频率信息完整地呈现出来，通过频域图谱可清晰观察到不同频率成分在整个序列中的占比，便于分析序列的整体波动结构，适用于金融市场的波动传导机制研究（如不同市场间的频率波动溢出效应）。 傅立叶变换（Fourier Transform）的主要缺陷 •时频局部化：傅立叶变换缺乏时频局部化能力，其频域结果反映的是整个时间序列在某一频率上的平均特征，无法确定特定频率成分在时间轴上的具体位置。例如，对于股价在某一时间段内出现的高频波动，傅立叶变换只能识别出存在高频成分，但无法确定该高频波动发生的具体时间区间。 •非平稳性适应：傅立叶变换要求时间序列满足平稳性假设，对于非平稳的金融时间序列（如股价、汇率），需要先对数据进行平稳化处理（如差分），否则变换结果会产生较大偏差，难以准确反映数据的频率特征。 •基函数特性：傅立叶变换的基函数为正弦函数和余弦函数，这些基函数在整个时域上是无限延伸的，且频率固定，无法根据数据的具体特征灵活调整基函数的尺度和位置 小波分析（Wavelet Analysis） •小波分析（Wavelet Analysis）是一种基于多尺度分析思想的时频分析工具，通过引入小波基函数（母小波），并对母小波进行缩放和平移操作，构建出一系列具有不同频率和时域位置的小波函数，实现对时间序列的多尺度分解。设𝜓𝑡为母小波函数，对其进行缩放（尺度参数a>0）和平移（平移参数b）后，得到小波函数族： •其中，尺度参数a决定小波函数的频率（a越小，频率越高），平移参数b决定小波函数的时域位置。对于连续时间序列f(t)，其连续小波变换为：ஶ •其中，𝜓௔,௕𝑡为𝜓{𝑎, 𝑏}(𝑡)的复共轭。在实际应用中（如金融时间序列分析），通常采用离散小波变换（DWT），将尺度参数a和平移参数b离散化，实现对数据的高效分解，得到不同尺度下的近似分量（低频趋势成分）和细节分量（高频波动成分）。 小波分析（Wavelet Analysis）的特点 •时频局部化能力：这是小波分析最显著的优势，它能够同时在时域和频域对时间序列进行局部化分析，既可以识别出不同频率成分的分布，又能确定这些成分在时间轴上的具体位置。例如，对于股价在 2008 年金融危机期间的剧烈波动，小波分析不仅能识别出该时期存在高频波动成分，还能精准定位高频波动发生的具体时间区间（如 2008 年 9月 - 10 月），这是 HP 滤波和傅立叶变换无法实现的。 •非平稳性适应：小波分析对非平稳时间序列具有良好的适应性，无需对数据进行预先的平稳化处理，可直接对原始非平稳金融时间序列（如股价、成交量）进行分解和分析，这是因为小波函数的有限支撑特性能够有效捕捉数据的局部突变和非平稳特征，而傅立叶变换对非平稳数据的处理效果较差，HP滤波也容易受数据非平稳性的影响。 小波分析（Wavelet Analysis）的特点 •多尺度精准分解：在金融时间序列分析中，小波分析能够实现对数据的多尺度精准分解，分离出不同频率的成分（如长期趋势、中期波动、短期噪声），为后续的多模型建模提供基础。 •局部特征捕捉能力：金融市场常常出现局部突变事件（如政策出台、突发事件冲击），导致股价等时间序列产生局部剧烈波动。小波分析的时频局部化能力能够精准捕捉这些局部特征，帮助研究者及时识别市场的结构性变化，为风险预警和投资策略调整提供及时依据。 •广泛适用性：小波分析适用于各类金融时间序列，无论是股价、汇率、利率等价格类数据，还是成交量、成交额等交易量数据，均能通过小波分析提取关键信息。同时，其对数据平稳性要求较低，无需复杂的数据预处理，大大拓宽了其在金融领域的应用范围，相比 HP 滤波和傅立叶变换，具有更强的实践应用价值。 CCONTE小波分析详解 小波变换的直观理解 •变换的核心是“基（basis）”—— 空间中线性独立的元素集合，任何信号可由基的线性组合表示。傅立叶变换（FFT）与小波变换（WT）均遵循此逻辑，差异在于基的选择： •傅立叶变换的局限：以无穷震荡的正弦 / 余弦波为基，仅擅长分析周期性、平稳信号。对突变信号（如时域阶跃），需大量三角波拟合，引发吉布斯现象（间断点邻域无法均匀收敛），且无法同时定位信号的时域与频域特征。 •小波变换的突破：以“能量集中的小波” 为基，通过对母小波（MotherWavelet）的缩放（控制频率）与平移（控制时域位置），构建灵活的基集合。同 时 引 入 尺 度 函 数 （ ScalingFunction ， 父 小 波 ） ， 实 现 多 解 析 度 分 析（MRA），解决了FFT 的时域- 频域定位难题，且计算复杂度低（多为𝑂𝑁𝑙𝑜𝑔𝑁，部分达𝑂𝑁） 关键概念：正交性 •无论是向量空间还是函数空间，正交性均指 “内积为 0”。对函数𝑓𝑥与𝑔𝑥，内积定义为 •小波基通常为 “规范正交基”（既正交又归一化），可简化系数求解：若信号𝑓𝑡由小波基𝜓௝௞𝑡（j为尺度参数，k为平 移 参 数 ） 线 性 表 示 为𝑓𝑡=∑ ∑𝑎௝௞௞௝𝜓௝௞𝑡，则系数𝑎௝௞=𝑓𝑡 , 𝜓௝௞𝑡，无需复杂矩阵运算。 母小波与小波函数族 •小波分析的核心是母小波（Mother Wavelet），它是一种具有有限能量、在时域上快速衰减的振荡函数，通常满足以下两个基本条件： •容许性条件：∫ஏఠమఠஶିஶ𝑑𝜔 < ∞，其中Ψ𝜔为母小波𝜓(𝑡)的傅立叶变换。该条件确保了小波变换具有可逆性，能够通过小波变换结果重构原始信号。 •零均值条件：∫𝜓𝑡 𝑑𝑡ஶିஶ= 0，这一条件使得母小波具有 “波动性”，能够有效捕捉信号的局部变化特征，区别于具有恒定均值的尺度函数（父小波）。 •通过对母小波进行缩放和平移操作，可构建小波函数族。设母小波为𝜓𝑡，尺度参数a（控制频率：a越小，频率越高，对应信号的细节特征；a越大，频率越低，对应信号的趋势特征）和平移参数b（控制时域位置：b的