学海拾珠系列之二百四十：高阶矩视角下的投资组合优化：基于偏度与峰度的马科维茨模型拓展

2/14正文目录1引言.......................................................................................................................................................................................................42理论方法..............................................................................................................................................................................................62.1假设条件......................................................................................................................................................................................62.2四阶矩最优投资组合.................................................................................................................................................................72.3最优投资组合的分解.................................................................................................................................................................93实证结果............................................................................................................................................................................................114结论.....................................................................................................................................................................................................13风险提示：.............................................................................................................................................................................................13 敬请参阅末页重要声明及评级说明证券研究报告 3/14图表目录图表1文章框架--------------------------------------------------------------------------------------4图表2所考察的10个资产类别收益率分布的前四阶矩----------------------------------------------------11图表3三组投资组合𝑥𝑚𝑣、𝑥𝑠𝑘与𝑥𝑘的构成--------------------------------------------------------------12图表4投资组合收益率的前四阶矩---------------------------------------------------------------------12 敬请参阅末页重要声明及评级说明证券研究报告 敬请参阅末页重要声明及评级说明1引言马科维茨（1952）开发的开创性均值-方差方法是现代投资组合理论的起点。这种方法基于金融收益服从正态分布的假设，或者替代地，个人效用函数是二次的，即个人偏好仅取决于收益分布的前两个矩。当正态性假设被放宽时，更高阶矩（通常是偏度和峰度）需要被纳入到最优配置问题和个体效用函数中。因此，收益分布的更高阶矩对投资者决策的相关性不能被忽视，例如可以参考Müller和Machina（1987）、Jurczenko和Maillet（2006）、Stöckl和Kaiser（2021）的研究。考虑资产收益的非正态性是必要的，这是为了将经典理论方法与金融收益经常且显著偏离正态分布的实证证据相协调，例如Chen和Zhou（2018）、Clark（1973）、Harvey和Siddique（2000）、Richardson和Smith（1993）、Xu（2007）、Blau（2017）、Finta和Aboura（2020）、Karoglou（2010）的研究。此外，投资者关心其投资组合收益的更高阶矩，例如Scott和Horvath（1980）、Harvey和Siddique（2000）、Ang等（2006）的研究。重要的研究方向通过效用函数的泰勒展开来关注收益的非高斯性，例如Jondeau和Rockinger（2006）、Guidolin和 资料来源：华安证券研究所整理 4/14证券研究报告 5/14证券研究报告Timmermann（2008）、Zakamouline和Koekebakker（2009）、Martellini和Ziemann（2010）的研究；或者通过Gram-Charlier展开来关注下行风险度量，例如Favre和Galeano（2002）、Leon和Moreno（2017）、Zoia等（2018）、Lassance和Vrins（2021）的研究。然而，在样本外框架中，与启发式方法相比，最优投资组合策略可能会表现不佳，正如DeMiguel等（2009）所展示的那样。这种现象在文献中得到了广泛讨论，可能是由于模型不确定性导致的，参见Pflug等（2012）。另一条研究路径将最优方法难以实施归因于解决方案的数值不稳定性，参见Torrente和Uberti（2021）。换句话说，样本内均值-方差前沿是真实有效前沿的有偏估计器，参见Kan和Smith（2008）。许多作者，例如Best和Grauer（1991）以及Kan和Zou（2007），认为估计不确定性是模型不稳定性主要原因。许多不同的论文提出了将偏度和峰度纳入经典投资组合优化方案的替代方法，例如Aksarayli和Pala（2018）、Jean（1971）、Jondeau和Rockinger（2006）、Kon（2012）、Saranya和Prasanna（2014）以及Chen和Zhou（2018）的研究。证据表明，偏度和峰度显著影响最优配置，参见Xiong和Idzorek（2011）和Wilcox（2020）。特别是，偏度引入了模型中的不对称性，而峰度则考虑了厚尾效应，可能会减少极端事件的影响。尽管一些有限的实证证据表明，当收益非正态时，均值-方差标准仍然可能是有效的，参见Levy和Markowitz（1979）、Pulley（1981）、Kroll等（1984），可能是因为收益可能由椭圆分布驱动，对于所有效用函数，均值-方差对期望效用的近似仍然良好，参见Chamberlain（1983）。然而，当收益与正态性严重偏离，特别是当分布严重不对称时，Chunhachinda等（1997）、Athayde和Flores（2004）、Jondeau和Rockinger（2006）表明，均值-方差标准可能导致不满意的结果。在这种情况下，三阶或四阶矩优化策略可以改善投资组合表现。在实际应用中，如Lassance和Vrins（2021）所强调的，需要在分配模型中纳入更高阶矩，同时考虑到需要估计的额外参数。本文提出了一个四阶矩资产配置方案。为了简化优化模型并获得闭式解，做出了一些假设。关键假设涉及偏度和峰度的表示，这与Ingersoll（1987）提出的方法一致。这一假设还允许减少参数数量，而不考虑偏度和峰度的共矩，从而在需要估计的参数数量上实现了一种简约方法。该提议是对马科维茨模型的推广，优化问题在给定期望收益、方差、偏度和标准预算约束的条件下，最小化投资组合的峰度。最优投资组合可以表示为三个投资组合的总和：经典的均值-方差最优投资组合加上分别考虑偏度和峰度的两个自融资投资组合。当峰度等于3时，即相对于高斯情况没有超额峰度时，该解简化为Gamba和Rossi（1998）中获得的均值-方差-偏度最优投资组合。此外，当偏度为零且峰度等于3时，最优解与经典的均值-方差最优投资组合一致。总体思路是，当偏度和峰度被纳入分配模型时，最优投资组合的特征是与标准均值-方差最优投资组合相比具有更高的方差。这种额外的方差通过投资者对更高阶矩的偏好在效用上得到平衡。假设投资者喜欢收益和偏度（奇数矩），而不喜欢偶数矩，即方差和峰度，参见Horvath和Scott（1980）和Menegatti（2015）。对个人效用函数的形状没有进一步假设。一项基于真实金融数据的实证应用展示了该提议的有效性。该模型通过用历史数据计算的经验矩替换理论矩来实现。该应用表明，添加到均值-方差最优投资组合中的自融资投资组合分别有助于增加偏度和减少峰度，这与投资者对更高阶矩的 偏好一致。本文的结构如下：第2节提出了该提议的理论形式化，分为三个小节，分别包含模型的假设、其数学形式化和最优解的分解；第3节包含对真实金融数据的实证应用，而第4节结束本文。2理论方法2.1假设条件本节总结本研究的核心假设。假设市场上有n种风险资产，并满足以下条件：r为收益率的列向量（维度为ℝⁿ），其均值、标准差、偏度和峰度分别存储在向量μ、σ、ξ和k中；y是一个随机变量，满足：期望𝔼(y) = 0，二阶矩𝔼(y²) =σ阶矩𝔼(y³) =ξz是另一个随机变量，满足：期望𝔼(z) = 0，二阶矩𝔼(z²) =σ三阶矩𝔼(z³) =ξϵ是一个ℝⁿ维随机列向量，且在给定y和z的条件下（ϵ|y,z）服从高斯分布，其均值为零，协方差矩阵为C=𝔼[ϵϵ′|y,z]；变量y和z相互独立；b和t是两个ℝⁿ维列向量；向量μ（均值）、1（全1向量）、b和t线性无关；风险资产收益率向量r可表示为以下形式：式（1）在同时考虑偏度与峰度的情况下，是对Ingersoll（1987）提出的收益率表示形式的广义拓展。在该式中：ϵ描述收益率的高斯分布成分；变量y和z则分别向收益率分布中引入非对称性（偏度）和厚尾性（峰度）。y和z作为工具变量，其技术意义在于为模型单独引入偏度与峰度特性。基于独立性假设，收益率的协方差矩阵为：假设矩阵D是正定的，因而非奇异。资产i、j、l之间的联合偏度（co-skewness）ξᵢ,ⱼ,ₗ，以及资产i、j、l、m之间的联合峰度（co-kurtosis）κᵢ,ⱼ,ₗ,ₘ定义为：其中下标表示向量r、μ、b、t的分量。需注意：定义偏度至少需要3种资产，定义峰度至少需要4种资产；式（3）和（4）分别是ξ由于收益率结构的假设，投资组合p的矩可表示为： 6/14证券