可转债定价模型系列研究：转债蒙特卡洛定价的改进及应用：测度变换与张量计算

2024年5月31日 转债蒙特卡洛定价的改进及应用：测度变换与张量计算 --可转债定价模型系列研究 核心观点： 分析师 研究助理：刘璐：liulu_yj@chinastock.com.cn ⚫重要性抽样、最小二乘蒙特卡洛与Tensor数据结构等改进蒙特卡洛模型：原有蒙特卡洛模拟具有模拟效率较低、无法识别期权最优停时点、未考虑赎回/下修最新公告等问题，我们对蒙特卡洛模型进行了以下改进：1）采用重要性抽样法将真实测度变换至到期收益率测度，同时可实现提高模拟效率、降低定价误差的效果；2）采用最小二乘蒙特卡洛模拟估计转债的存续价值，确定投资者的最佳转股时点；3）采用Tensor数据结构，支持GPU计算与自动求导，提高代码运行效率；4）将赎回/下修最新公告处理为是否处于赎回/下修限制期、限制期时长等新参数，加入到原有蒙特卡洛模型中。 ⚫蒙特卡洛定价模型参数分析：蒙特卡洛模型中大部分参数可从市场或转债募集说明书/公告中获取，但正股收益率、正股波动率、下修概率与赎回概率4个参数无法直接获取，需要进行合理估计。根据测算结果，我们选择最近6月年化收益率的21天滚动均值、最近6月年化波动率作为正股收益率与波动率的取值，赎回/下修概率则依据正股价格/转股价格的比值，在0-0.3之间分段取值；另外，为兼顾定价准确与计算效率，我们在定价时取模拟次数为2500次。同时，我们在时间序列和截面上均对模型定价的准确性进行了验证，定价结果表明平均定价误差在合理范围内，改进后的蒙特卡洛模型定价准确性较高。 资料来源：Wind，中国银河证券研究院 ⚫定价方法在转债组合构建中应用广泛，定价误差可改进“双低”转债策略获取超额收益：截至5月24日，转债市场现存余额7908.88亿元，共计535只转债；近期转债市场与A股市场同步回暖，转债成交金额和平均换手均呈现上升趋势，为构建转债配置策略提供了市场基础。蒙特卡洛定价方法在转债组合构建中具有广泛应用，以双低策略为例，定价误差反映了市场预期收益与历史收益的分歧，依据定价误差可找到市场给予乐观预期的转债构建配置策略，从2023年6月30日至2024年4月30日，等权加权策略相对基准中证转债指数实现超额年化收益11.93%，波动率倒数加权策略实现超额年化收益7.94%，最大回撤均有所收窄，表明策略可获得稳健的超额收益。 资料来源：Wind，中国银河证券研究院 相关研究 ⚫风险提示：报告结论基于历史价格信息和统计规律，但二级市场受各种即时性政策影响易出现统计规律之外的走势，所以报告结论有可能无法正确预测市场发展，报告阅读者需审慎参考报告结论。证券历史收益不代表未来业绩表现，文中观点仅供参考，不构成投资建议。 【银河金工】转债新规下的定价模型更新和绝对收益策略改进 【银河金工】转债在“固收+”产品中的重要作用 目录 （一）转债定价基本假设........................................................................................................................................................3（二）蒙特卡洛模拟适用于可转债定价................................................................................................................................5（三）转债蒙特卡洛定价模型的改进：重要性抽样............................................................................................................6（四）转债蒙特卡洛定价模型的改进：最小二乘蒙特卡洛模拟........................................................................................8（五）转债蒙特卡洛定价模型的改进：Tensor数据结构.....................................................................................................9（六）转债定价模型参数释义..............................................................................................................................................10（七）正股价格路径模拟与转债定价流程..........................................................................................................................11 （一）定价模型参数取值方法..............................................................................................................................................12（二）模型定价准确性验证..................................................................................................................................................16（三）定价影响因素敏感性分析..........................................................................................................................................17 （一）转债市场整体环境......................................................................................................................................................22（二）转债行业分布与变化..................................................................................................................................................23 （一）定价误差改进“双低”转债策略..................................................................................................................................24（二）回测结果......................................................................................................................................................................25 定价模型代码实例..................................................................................................................................................................28 七、风险提示..............................................................................................................................................................................32 一、转债蒙特卡洛定价模型梳理与完善 （一）转债定价基本假设 在使用蒙特卡洛模拟法对转债进行定价前，我们首先需要对转债及对应正股的特征进行定义，本报告对于正股价格与转债条款的基本假设如下： （1）正股价格的对数过程服从几何布朗运动（Geometric Brownian motion，GBM）。 股票价格服从几何布朗运动是随机过程中常用的基本假设，因为一方面经验事实证明股价的连续复利收益率近似服从正态分布，另一方面几何布朗运动是一个马尔科夫过程，即当前股价包含了已知的全部信息，这与弱有效市场假说相符。用数学公式可表示为： 其中𝜇为漂移率，在真实测度下𝜇为正股期望收益率，在风险中性测度下𝜇为无风险利率𝑟𝑓；𝑞为正股的连续红利率，𝜎为正股对数收益率的波动率，𝑊𝑡服从标准布朗运动，即𝑑𝑊𝑡~𝑁(0,𝑑𝑡)。考虑到短期内分红对转债价格影响较小，且分红后转股价格会相应调整，为简化模型，暂不考虑分红，即𝑞=0，则正股价格可表示为 根据伊藤引理可知，若𝑓是一个关于股价S和时间t的函数𝑓(𝑆,𝑡)，那么伊藤过程可表示为 其中(𝑑𝑆)2=(𝜇𝑆𝑑𝑡+𝜎S𝑑W)2，忽略所有比𝑑𝑡更高阶的小量，则(𝑑𝑆)2=(𝜎S𝑑𝑊)2=𝜎2𝑆2𝑑𝑡；同时将𝑑𝑆=𝜇𝑆𝑑𝑡+𝜎𝑆𝑑𝑊带入上式，可得 令𝑓=𝑙𝑛𝑆，则𝜕𝑓𝜕𝑡=0，𝜕𝑓𝜕𝑆=1𝑆，𝜕2𝑓𝜕𝑆2=−1𝑆2，带入上式可得 因此股票连续复利收益率服从正态分布𝑑𝑙𝑛𝑆~𝑁((𝜇−12𝜎2)𝑑𝑡,𝜎2𝑑𝑡)，股票价格的解析式为 （2）正股价格在到期收益率测度下服从鞅过程。 资产定价的本质是对未来现金流贴现计算现值的期望。但真实世界中，在对衍生品定价时，由于标的资产价格收益率𝜇与适合的贴现率𝑟均难以进行准确估计，我们引入了测度变换（Change of Measure）的概念。测度变换可理解为一个变换概率分布的过程，是一种用于简化衍生品定价的数学工具，本身并不具有经济学含义。假定真实世界中的概率分布为真实测度，记作P测度；变换后的目标概率测度为Q测度，如 果P测度和Q测度满足二者对不可能事件的概率都为0、对必然事件的概率都为1，对其他事件集合可能赋予不同的概率密度，那么二者可称为等价测度。在衍生品定价中，等价测度意味着资产价格路径是一致的，但发生的概率不同。这样，只要将Q测度下衍生品期望价格变换回P测度中，我们就可以完成对真实世界中衍生品的定价。 鞅过程（Martingale）是随机 过程的一种特殊形式。假设𝑋为一个随机过程（即随时间变化的随机变量），𝑋(𝑡)为该随机过程当前值，ℱ𝑡为𝑡时刻所有已知信息，𝑋(𝑠)为该随机过程的未来值（𝑠>𝑡），若𝑋满足 则随机过程X被称为一个鞅过程。鞅过程在金融建模中被广泛应用，这来源于有效市场的假设：如果市场有效，未来资产价格的期望等于当前价格，那么任何一种资产平均而言都无法获得超额收益。如果我们可以找到一个和P测度等价的Q测度，使得资产价格序列在Q测度下是一个鞅过程，这样的Q测度