期权复制原理、实战与应用：如何复制期权打造投资利器

期权是帮助投资者实现非线性收益的重要投资工具，可以帮助投资者在一定条件下改善投资的收益风险结构。然而当前国内市场期权投资受到一定的规范限制。本篇报告介绍了期权复制解决方案，包括复制基本原理以及潜在风险来源，并在国内市场进行了实战检验。 期权复制是通过标的资产与无风险资产的投资组合实现与期权相近的收益结构，其核心思想是Delta对冲。对于单期模型，我们需要在期初持有Delta数量的标的资产即可实现期权复制；对于多期动态模型，我们需要不断调整标的持仓，使其恰好等于每一期的期权Delta。 直接购买期权可以在期初锁定期权费用以及期末收益结构，而复制期权存在一定的风险，主要来源于4个方面：（1）复制组合的Gamma暴露使其面临波动率变化的风险；（2）离散对冲增加了复制收益的不确定性；（3）Delta无法精确估计，导致复制组合面临市场风险；（4）对冲过程存在交易费用增加了对冲成本，同时也增加了复制收益的不确定性。 香草期权复制效果与价差期权相近，二元期权复制效果偏弱。复制过程出现误差核心原因是未来的实现波动率与期初期权定价的隐含波动率存在差异，离散对冲和交易成本对复制误差的影响有限。其他合约参数对复制效果影响也是有限的。 对于备兑看涨、保护性看跌以及嵌入期权的固收+策略，期权复制模块的实现不受融资融券和标的品种的限制，使得这些策略具有很宽的适用范围。另一方面，对于有股指期货的品种，随着相应股指期货贴水逐渐收敛，沽空成本降低，从而特定期权裸头寸的复制可行性也逐渐提升。 风险提示：期权复制策略的表现会受到市场环境的影响，市场波动环境的大幅变化可能使得复制收益偏离理论收益。 1.引言：期权复制——改善投资收益的独家利器 期权是帮助投资者实现非线性收益的重要投资工具。期权组合策略可以帮助投资者在一定条件下改善投资的收益风险结构，例如备兑看涨策略和保护性看跌策略可以帮助投资者显著降低投资的波动与回撤；同时，期权还可以与固定收益资产打包成为类结构化产品，在保本保收益的同时实现一定条件下的增强收益，表现出“固收+”的收益特征。 当前国内市场期权投资受到一定的规范限制。以公募基金为例，尽管当前公募基金可以按照一定限度投资股指期货、国债期货和商品期货，但期权工具的使用仍然受到限制，基金管理人无法使用场内外期权改善自身产品收益结构。其他专业投资机构、个人投资者也同样在使用期权工具时会面临较高的门槛。 因此，本篇报告将介绍期权复制解决方案，我们将介绍期权复制的基本原理以及潜在风险来源，并在国内市场进行实战检验，帮助缺乏期权工具的投资者直接使用标的资产以简洁的操作近似获得期权收益。通过期权复制，投资者可以近似构建备兑看涨、保护性看跌等期权组合策略，或者打造类结构化产品，构建另类固收+投资策略。 2.期权复制基本原理与风险来源 2.1.期权复制基本原理 期权复制是通过标的资产与无风险资产的投资组合（以下称为“复制组合”）实现与期权相近的收益结构。复制组合的期初构建成本等于期权期初的价格，存续期内，复制组合中标的资产与无风险资产的相对权重根据标的价格变化不断动态调整，最终使得复制组合与期权在期末实现近似的收益结构。 期权复制的核心思想是Delta对冲。对于结构更加复杂的奇异期权有时还可以进行其他希腊字母的对冲，但本篇报告主要考虑结构较为简单的香草期权、价差期权和而二元期权，且为了贴近投资实际，考虑到投资者可能受监管要求无法使用期权衍生品工具，无法实现Gamma、Vega等字母的对冲，因此本篇报告主要使用Delta对冲的方法复制期权收益。 2.1.1.静态Delta对冲 我们首先以单期静态复制模型来介绍Delta对冲的核心思想。假设标的资产当前价格是S，未来1时刻价格可能会变为𝑢 ∙ 𝑆或者𝑑 ∙ 𝑆，无风险利率为r（单利）。那么对于到期时间是1时刻、执行价格为S的看涨期权，我们可以用Δ单位的标的资产和B单位的无风险资产来复制期权，其中： 𝑢 − 1Δ = 𝑢 − 𝑑𝑑𝑆𝐵 = −Δ 1 + 𝑟 在上述条件下，该复制组合完全等同于期权： （1）期初Δ单位的标的资产和𝐵单位的无风险资产价值Δ𝑆 + 𝐵 = 𝑆1+𝑟 1+𝑟−𝑑1+𝑟 𝑢−1𝑢−𝑑 (𝑆 − 𝑑 ∙ ) Δ = ( ) ∙ ( ) ∙ 𝑆 ，而期权在期初的无套利价 格恰好是该值； (𝑢 − 1) ∙ 𝑆 （2）在上涨的情况下，期权期末可以获得 收益，同样，Δ单 位的标的资产和B单位的无风险资产在期末也可以获得(𝑢 − 1) ∙ 𝑆； （3）在标的下跌的情况下，两者也能够获得相同的收益0。 因此Δ单位的标的资产和B单位的无风险资产可以实现对期权收益的复制。这里的Δ（即我们所说的“Delta”）是复制的关键，其本质是期权对标的价格变动的敏感度，标的资产期末价格从𝑑 ∙ 𝑆变为𝑢 ∙ 𝑆，对应期权期末价格从0变为(𝑢 − 1) ∙ 𝑆，因此标的资产单位价格变动对应期权价格变动就是Δ = (𝑢 − 1)/(𝑢 − 𝑑)。从这个例子可以看出，按照“Delta”的比例投资标的资产可以实现对期权的静态复制。 2.1.2.动态Delta对冲 上述静待复制只涉及单期的变化，中间无需对标的和无风险资产的权重进行重新配比。而实际投资中，我们面临的是多期的决策过程，标的资产价格不断变化，期权对标的变化的敏感度随之改变，因此需要用来复制期权的标的数量也需要不断发生变化。 对于普通香草期权而言，期权Delta关于标的资产是单调上升的。如下图所示，普通欧式看涨期权Delta随着标的资产价格升高而不断增加，即期权价格对标的价格的敏感度提高（对于看跌期权，Delta随标的资产价格上升也是增加的，但它的Delta总是负值）。直观上也容易理解这一点：当标的价格升高时，期权行权的可能性越高，此时期权更像股票（到期时，行权的期权的收益与股票收益之间时线性关系），因此此时期权价格对股票的敏感性更高。 图1期权Delta随标的资产价格变化示意图 从前面单期静态对冲的过程中我们可以看出，为了复制期权，我们需要持有Delta单位的标的资产来复制期权收益，而对于多期动态过程，类比来看，当标的价格发生变化导致期权Delta改变时，我们只需要将持有的标的资产数量调整到最新的Delta（同时相应地调整无风险资产数量）即可实现动态复制。 具体地，我们以欧式看涨香草期权为例，介绍动态复制的过程。 动态复制看涨期权可以视为对假想的“卖出期权”仓位进行中性化对冲，使得复制组合加上（假想的）期权空头头寸的Delta时刻为0。假设持有1单位期权，期初标的价格50元，计算得到期权Delta为-0.51，此时只需要买入0.51单位标的资产即可实现整个组合的Delta中性。此后，如果标的资产上涨至53元，计算得到期权Delta变为-0.79，这时复制组合中需要买入更多的标的资产来跟期权的Delta匹配，买入（0.28单位）之后复制组合加上假想的卖出期权仓位的总Delta重新回到0，整个组合保持Delta中性。 图2期初复制组合价值曲线 图3标的资产价格变动之后需要重新调整组合仓位使得整个组合重新保持Delta中性 按照上述的操作过程，在期权到期之前不断调整复制组合的仓位，就可以让最终复制组合的收益逼近期权的到期收益。更进一步理解，上述例子中，我们复制看涨期权，该期权Delta随标的价格上升而增加，从而当标的上涨时，需要买入更多的标的资产，而标的下跌时，需要卖出之前买入的资产，这个“高买低卖”的过程会出现损失，这部分损失称之为对冲成本，理想状态下（不考虑对冲产生的交易费用、可以连续对冲、以及未来实现波动率已知），对冲成本恰好对应直接购买期权的期权费，因此通过Delta对冲的方法可以完全复制出期权收益。 2.2.期权复制风险来源 复制期权与直接购买期权的区别在于，直接购买期权可以在期初锁定期权费用，期末的收益结构是确定的，理想状况下期权复制也可以实现这一点。而实际上，复制期权存在一定的风险，初期按照期权费用进行投资，最终取得的收益并不一定恰好等于期权期末的理论收益。这种风险主要来源于4个方面：（1）波动率风险（实现波动率与隐含波动率不同）； （2）离散对冲；（3）Delta无法精确估计；（4）对冲过程存在交易费用。 我们从期权对冲的视角来研究理想状态下期权对冲（复制）的效果。假设我们期初买入了欧式看涨期权，并在存续期内对期权进行对冲（相当于复制卖出看涨期权的头寸）。如果实现波动率恒定（此时BS模型准确计算Delta）且恰好等于购买期权的隐含波动率，买入期权后我们按照事先已知的波动率进行连续地对冲，对冲过程中没有任何交易成本，那么对冲组合加上持有的期权就变为严格的无风险资产，对冲损益不存在任何波动。下面从理想情况出发分别分析以上不同风险来源对复制效果的潜在影响。 2.2.1.波动率风险 我们持有的看涨期权头寸具有Gamma暴露，因此实现波动率与期权费对应的隐含波动率之差会影响对冲损益。在连续时间对冲、未来波动率固定且事先已知、以及没有任何交易成本的情况下，期权对冲的最终结果是确定的，但是损益的大小与实现波动率和隐含波动率之差有关。如下图所示，图中Implied Volatility是隐含波动率，可以视为期初买入看涨期权的期权费，Realised Volatility表示期权存续期间实现波动率（已知），横轴表示实现波动率与隐含波动率之差，纵轴的损益与实现波动率和期权费（隐含波动率）之差成正相关关系。 𝑃&𝐿 = 𝑆Γ(𝜎2 − 𝜎 ) 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑠𝑒𝑑 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑒𝑑 图4理想状态下期权的复制损益是确定的 实现波动率与隐含波动率之间的差异对期权对冲的影响本质是通过期权的Gamma暴露实现。在上述例子中，我们持有的看涨期权有正向Gamma暴露，故而当实现波动率高于隐含波动率时，对冲之后会实现正收益。如果我们要复制一个看涨期权，那么本质上是需要对一个假想的看涨期权空头进行对冲，此时我们有负向Gamma暴露，因此当实现波动率更高时，复制组合出现损失，复制成本会高于期初计算的期权理论成本。 2.2.2.离散对冲 理想情况下，我们可以连续地进行对冲，标的资产发生微小的波动也相应地调整复制组合的仓位，这种情况下复制成本会等于期权理论价格。 然而实际中，受到交易成本、最小交易单位影响，我们不可能每时每刻都进行对冲，实战中一般选择固定的时点或者当Delta变化超过一定幅度时进行对冲操作，这种离散对冲的方式会对收益产生一定影响。 对冲频率较高时，对冲过程中标的每次小幅的波动都可以获得相应收益，而在大幅波动在高频对冲过程中将会被拆分成多个小幅收益；当对冲频率较低时，标的中途的某些小幅波动可能不会每次都被对冲，无法获得收益，而标的大幅的波动可能一次性获得较大幅度的收益。因此，在不同的涨跌路径下，尽管对应的波动率可能相同，但不同频率的对冲最终的损益可能不一致。 例如，我们在持有看涨期权时采取两种对冲策略，分别当标的涨跌幅绝对值超过1%和2%时进行对冲，记为策略A和策略B，市场存在两种波动方式：每天涨跌±1%（对应的收益率序列为{1%,-1%, 1%,-1%,1%,-1%,……}）和每隔4天涨跌±2%（对应的收益率序列为{0, 0, 0, 2%, 0, 0,0,-2%, ……}），两种波动方式有相同的波动率，A策略在每日涨跌1%的环境中的平均收益为1x（假设暂不考虑Theta的影响），而B策略在每日涨跌1%的环境中日均收益为0；A策略在每4天涨跌2%的环境中日均收益为0.5x，而B策略在每4天涨跌2%的环境中日均收益为1x。 从上述例子中也可以看出，对冲频率越高，损益的不确定性越低，理论上，对冲频率每提高4倍，损益的波动率降低一半（N表示每年对冲次数）： 𝜋 𝜎 ≈ 𝜎 × 𝑣𝑒𝑔𝑎 × √ 𝑃&𝐿 4𝑁 图5离散对冲导