学界纵横系列之二十七：加权回撤框架，统一化度量风险指标

回撤衡量了某一选定投资周期内，上一个最高点到当前时刻的损失。 由于直接反映了损失的程度，回撤对投资者而言是更为直观的风险指标。出于不同的需求，学界和实务界提出了各种基于回撤的风险指标，如最大回撤MDD，平均回撤ADD，均方回撤𝐴𝐷𝐷，条件回撤CDD，期末回撤eopDD等……本文将上述回撤指标纳入到了统一的回撤框架：加权回撤wDD框架之中。 在wDD框架下，所有的回撤指标都可以表示为回撤图时间序列的加权和。权重的不同反映除了该回撤指标的风险侧重，以及投资者的考量因素。wDD将回撤指标转化为对回撤图的加权问题，为理论分析和计算提供了便利。在这一框架下，投资者也可以从自身的需求出发，发明不同的回撤指标。 在组合排序实验中，ADD、𝐴𝐷𝐷和lwDD这3个指标得到的结果非常相似。这些指标与权重时变的twDD的相关性有所下降，与单点权重的MDD和eopDD的相关性则显著下降。MDD与𝐴𝐷𝐷的相关性最强。 在区分基金经理的能力方面，回撤指标都表现得可圈可点。基于实际损失的回撤指标比基于波动率的指标反映除了更多的风险信息。另外，那些对回撤图的所有信息利用得更加充分的回撤指标(ADD、lwDD、ADD^2)比那些只运用了回撤图部分信息的指标(twDD、MDD，eopDD)表现得更加优异。 在A股实证研究中，由于波动率的影响，aDD指标的延续性不如mDD。 在业绩回测中，不同回撤指标对业绩具有一定的区分度，aDD最优，𝑎𝐷𝐷次之，mDD最弱。由于aDD与波动率的相关性更高，因此在市场波动程度较高时，相比mDD，使用aDD能够更加准确地度量风险。 另外，相比于mDD，aDD所具有的经济学意义也更强，对未来风险的反映程度也更准确，因此aDD应用于选基的优异表现具有理论支撑。 1.引言 回撤衡量了某一选定投资周期内，上一个最高点到当前时刻的损失。由于直接反映了损失的程度，回撤对投资者而言是更为直观的风险指标。 出于不同的需求，学界和实务界提出了各种基于回撤的风险指标，如最大回撤，平均回撤，均方回撤，条件回撤，期末回撤……其中最大回撤是最为常用的回撤指标，被广大投资者所接受，成为各种金融软件中的标准指标，衡量账户在最糟糕的情况下的风险承受能力。 那么众多的回撤指标有何异同？在投资实践中使用这些指标能否得到相同的结论？如何在不同的情形中选择合适的回撤指标？发表于 The Journal of Portfolio Management中的文章《Drawdown Measures: Are They All the Same?》 提出了一个统一的回撤指标框架wDD，从理论和实证两方面对这些问题作出回答。 本文对作者提出的理论进行介绍，并重复文中的模拟实验。进一步，我们以国内的主动管理基金数据，借鉴文中的结果对国内市场进行实证研究。结论显示，平均回撤aDD能够更好地度量预期风险，在业绩回测中表现优于最大回撤。 2.常用回撤指标与加权回撤框架 2.1.常用回撤指标 2.1.1.最大回撤(MaximumDrawdown,MDD) 最大回撤MDD出自Garcia and Gould, 1987，衡量在选定周期内任一历史时点往后推，产品净值走到最低点时的收益率回撤幅度的最大值，计算公式为： 𝑇𝑟𝑜𝑢𝑔ℎ𝑉𝑎𝑙𝑢𝑒 − 𝑃𝑒𝑎𝑘𝑉𝑎𝑙𝑢𝑒𝑀𝐷𝐷 = 𝑃𝑒𝑎𝑘𝑉𝑎𝑙𝑢𝑒 最大回撤用来描述买入产品后可能出现的最糟糕的情况，是最重要的风险指标之一，也是在购买和评价基金时必须参考的标准指标，对于对冲基金和数量化策略交易，该指标比波动率还重要。 2.1.2.平均回撤(AverageDrawdown, ADD) 平均回撤ADD是选定周期内回撤的平均值。如果说最大回撤记录了历史上的偶发性黑天鹅事件，那么平均回撤能够更加准确地反映未来的回撤水平，是期望回撤的估计值。 𝟐 2.1.3.均方回撤(AverageSquaredDrawdown,𝑨𝑫𝑫) 均方回撤𝐴𝐷𝐷又被称作溃疡指数（Ulcer Index），于Martin and McCann (1989)中提出。均方回撤的计算方法为，将每一期的回撤平方相加，除以总期数，再开方。相比平均回撤，均方回撤给予了大回撤更大的权重。 在量纲上，均方回撤与标准差一致，起到衡量基金波动性的作用。但相比标准差，均方回撤只专注于下行风险，而不是简单地将上行和下行波动一起计算。 2.1.4.期末回撤(End-of-Period Drawdown,eopDD) 期末回撤eopDD强调投资末期回撤的重要性。与mDD类似，eopDD在最后一期回撤处的权重为1，其他为0. 2.2.回撤指标的统一框架：加权回撤框架(wDD) 上节提到的所有回撤指标都可以纳入到一个统一框架之中，及加权回撤框架(Weighted Drawdown Framework, wDD)。假设投资期间为0到N期，相应的资产价格为𝑆到𝑆，则任意一个加权回撤指标都可表示为： 𝑁 𝑁 ∑ ()2 2 𝑤𝐷𝐷 = ∑ ω𝐷, 0≤ω≤1, ω=1 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖=1 𝑖=1 𝑀−𝑆𝑀 𝑖 𝑖 其中𝐷≔ 为i时刻的回撤，𝑀≔ 𝑚𝑎𝑥 𝑆，为i时刻前的最高 𝑖 𝑖 𝑡=0,…,𝑖𝑡 𝑖 点。回撤𝐷的时间序列被称作回撤图。 𝑖 通过对权重ω的不同选择，wDD能够得到不同的回撤指标，反映投资者 1𝑁 关心的不同方面。ADD对所有𝐷取等权重，MDD在回撤的最大点取 𝑖 𝐷 𝑖 1，其他处取0。𝐴𝐷𝐷用𝐷本身进行加权，即ω= 𝑖 𝑖 𝑁𝑗=1 ∑ 𝐷 𝑗 1237275 在wDD框架下，自创指标非常容易。例如，希望更关注投资末期的回 𝑖𝑁 ∗𝑖 撤，那么可以让权重随着时期t线性增加，取ω=，再进行标准化， 使权重之和为1。这个回撤指标被称作线性加权回撤(Linearly Weighted Drawdown, lwDD)。 回撤之前的价格走势也会对回撤的重要性产生影响。如果回撤发生前投资有正收益的话，回撤只是减少了盈利。但如果刚经历了暴跌，回撤对投资者而言则更加痛苦。趋势加权回撤(Trend Weighted Drawdown,twDD)反映了这一心理。如果i时刻的前一个月收益为正，则ω= 0，否则， 𝑖 1𝑁 ∗ ω= ，𝑁为权重不等于0的总期数。 𝑖 ∗ 图1展示了上述回撤指标对同一回撤图的不同模式。从图中可以直观地看到不同回撤指标的加权模式之间的区别与联系：ADD、lwDD、𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐷𝐷的权重在期末才能确定；lwDD强调投资期末的回撤，而MDD和𝐴𝐷𝐷则强调回撤的数值大小。 在wDD框架下，改变回撤图各部分的权重，就能得到强调不同特性的回撤指标。这些回撤指标对风险的反映相同么？从迥异的权重模式可知，至少一部分的回撤指标是显著不同的。但隶属于同一框架意味着它们又具有内在的联系。接下来，我们通过实证来研究回撤指标间的相似程度。 图1：同一回撤图的不同回撤指标的权重示意图 3.利用模拟实验探究指标的相似性 上述加权方式不同的回撤指标在实际应用时得到的结果区别有多大？ 本章采用概率模拟实验的方式解答这一问题。使用概率模拟实验能够摒弃人为因素对数据造成的影响，更客观地反映回撤指标的特性。在之后的章节中，我们会采用真实基金数据对指标进行业绩回测分析。 本章主要考察回撤指标三方面的相似性：1）组合排序的相似性，2）能力挖掘的相似性，以及3）作为业绩评价指标的相似性。 3.1.组合排序中的相似性 本节考察采用不同的回撤指标对组合进行排序得到结果的相似性。我们既不希望结果过于相似，也不希望结果完全不同，而是能够大体反映出基金经理风险管理的能力水平，又在不同方面有所侧重。为此，我们模拟了1000名基金经理和投资组合，在每月末用不同的回撤指标对这些组合进行排序，并考察这些排序结果之间的相似性。 数据的具体生成方式如下： 为了与论文中的结果保持一致，数据区间为1999年12月至2019年4月。投资的股票池为明晟世界指数(MSCI World index)的成分股。从1999年12月31号起，1000名基金经理中的每一位从指数成分股中随机挑选100只股票，并赋予0%—2%之间的随机权重。为了保证组合的持仓不过于集中，限制某一行业或国家的持仓不超过总持仓的10%。如果形成的组合在某行业或国家持仓超过10%，则重新采样，直到符合约束条件。 在之后的每月末，基金经理先从组合中筛除被当月指数除名的股票，然后随机卖出股票直到换手率达10%，然后再填充新的股票至100只。上述程序每月重复。 在有足够计算数据之后的每个月末，我们采用1年的滚动窗口计算回撤指标，并对上述的1000个模拟资产组合进行排序，计算两两指标间的秩相关系数。表2的下三角部分给出了指标间时序平均之后的相关系数，而表2的上三角部分则给出了99%置信区间。 观察表2，ADD、𝐴𝐷𝐷和lwDD之间的相关系数在0.85±0.03，意味着使用这3个指标会得到非常相似的结果。这些指标与权重时变的twDD的相关性有所下降，与单点权重的MDD和eopDD的相关性则显著下降。在MDD的所有配对中，与𝐴𝐷𝐷的相关性最强，因为它们的最大权重点相同。 以上结果意味着在实践中使用aDD等指标进行分析，能够得到与mDD较为不同的结果，具有一定的研究价值。接下来的实证将考察这些不同能否带来更加优异的表现。 表1：不同回撤指标间的秩相关系数与99%置信区间 3.2.能力挖掘中的相似性 理论上，能力与回撤应为负相关，管理能力越强的基金经理回撤的程度就越小。反过来，利用回撤指标就能用来区分有能力的基金经理和没有能力的基金经理。在实证中回撤指标是否真的具有这种功能，不同的回撤指标效果是否不同呢？本节就来回答这个问题 在上一节的模拟实验中，基金经理均以纯随机方式选股，不存在选股的能力。为了反映基金经理间的能力差异，对模拟实验进行修改。在每一个月末调仓时刻t，将所有股票按照未来一年的收益率进行排序，并以收益率中位数为界分成2半，上一半为赢家组合，下一半则为输家组合。 在纯随机模式下，基金经理以0.5的概率在两个组合之间挑选股票。而一个有能力的基金经理应当具有一定程度的预测能力，以高于0.5的概率选择赢家组合中的股票。在每一次调仓时，选择赢家组合的概率被称作命中率(hitratio)。记为δ。通过对基金经理赋予不同的δ，使基金经理间的选股能力产生分化。 依旧采用上一节的实验框架，模拟2000名基金经理。其中1000名的命中率δ设为0.5，代表纯随机无能力的基金经理。另1000名的δ设为0.6，代表强选股能力基金经理。实验的目标在于考察能否通过回撤指标准确地识别出基金经理的能力分类。 在每月末，用之前一年的回撤率对2000只基金从小到大排序。前1000只基金标记为有能力，后1000只标记为无能力，并与真实的能力类别进行对比，计算分类准确率。图2展示了不同回撤指标分类准确率的箱型图。 箱型图给出了按月滚动的所有分类准确率以及最大最小、0.25、0.5和0.75分位数。例如，ADD在最好的情况下达到82%的准确率，最差时也有62%的准确率。可以看到，ADD、lwDD和𝐴𝐷𝐷平均而言表现最好。 ADD的准确率最高，而且方差也最小。twDD和mDD在准确度和方差上均表现较差。三者的准确率最小值均小于0.5，意味着有些时候选基能力甚至弱于随纯机选择。图2还给出了ES（期望尾部风险）和波动率用于选基的效果。虽然准确率大于0.5，但均弱于所有回撤指标。 图2：不同回撤指标的分类准确率 总的来说，在区分基金经理的能力方面，回撤指标都表现得可圈可点。 因为基