当尾部很重时：GARCH模型的方差目标、非高斯、准最大似然估计的好处
联邦储备委员会，华盛顿特区 ISSN 1936-2854（印刷）ISSN 2767-3898（在线）
当尾部沉重时：GARCH模型的方差目标非高斯准最大似然估计的益处
托德·普罗诺
2025-075
请引用此论文：普鲁诺，托德（2025）。 “当尾巴很重：目标方差，非翻译文本的益处”高斯、GARCH模型的准最大似然估计，”金融与经济经济学讨论系列 2025-075。华盛顿：联邦储备理事会系统，https://doi.org/10.17016/FEDS.2025.075。
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当尾部沉重时：GARCH模型的方差目标非高斯准最大似然估计的益处1
托德·普罗诺2
此版本：2025年7月
摘要
在重尾情况下，Bollerslev（1987）为线性GARCH模型提出的t分布估计量的方差目标被证明对密度设定错误具有稳健性，就像流行的准最大似然估计器（QMLE）一样。所得的方差目标、非高斯、准最大似然估计器（VTNGQMLE）被证明具有稳定极限，尽管该极限高度非高斯，且方差未定义。收敛到这个非标准极限的速度相对n并且依赖于未知参数。幸运的是，在精心构建的归一化下，子样本自助法是适用的。令人惊讶的是，蒙特卡洛实验和实证应用都揭示了 VTNGQMLE 大幅优于 QMLE 和其他性能提升（相对于 QMLE）的替代方案。在实证应用中，VTNGQMLE 应用于 VIX（标普 500 指数隐含波动率）。然后使用得到的 GARCH 方差估计来预测波动率的隐含波动率（VVIX），从而展示了 VIX 历史波动率与风险中性波动率之间的关系。
关键词：GARCH、VIX、VVIX、重尾、稳健估计、方差预测、波动率、波动率的波动率。JEL代码：C13、C22、C58。
1 引言
博尔尔斯лев（Bollerslev，1986）提出的线性GARCH模型仍然是金融经济学中条件波动率建模的主力工具，其应用范围涵盖投资组合构建、衍生品定价和风险管理。对于一个序列Y{ ，该型号最受欢迎的版本声明t}
2βσ+2,=tt t 1 1−−哪里D是一个未知分布，其概率密度函数为g. 估计（1）和（2）的最常用方法是似然法，该方法需要指定一个代理密度函数f，其中，很可能f g D g= 6 。本文将……视为潜在变量。为了提高GARCH模型参数估计的效率，预先尝试更好地匹配所选……f具有数据通常建模的重尾特征。然而，这些尝试的意图并不是识别g，因此，达到克拉美罗下界。相反，目的是选择一个f那就是“更接近”g比高斯密度更优，但（像高斯密度一样）在模型参数估计中仍保持鲁棒性，在（可能）的情况下f g= 6 。期望的结果是一个对密度设定错误具有鲁棒性的非高斯GARCH估计量，并且比高斯替代估计量更有效。
迄今为止，最流行的选择是f是高斯密度，在这种情况下，(1)和(2)的估计量是准最大似然估计量(QMLE)。解释这种流行性的是QMLE对密度设定错误的鲁棒性。早期将QMLE作为鲁棒估计量的证明包括Lee和Hansen (1994)以及Lumsdaine (1996)，较近的（更一般的）证明包括Berkes, Horváth, 和Kokoszka (2003), Francq和Zakoïan (2004)，以及Straumann 和Mikosch (2006)。这些较近的证明也确定了E渐近正态分布。4<∞作为（接近）QMLE必要的t
众所周知，虽然QMLE很稳健，但它并不特别高效，尤其是在重尾情况下D. 英格尔和戈麦斯-里韦拉（1991）表明，例如，（1）和（2）的半参数估计量比QMLE的效率高50%。QMLE与（不可行）完全最大似然估计之间的巨大差距，促使了关于GARCH估计量的文献，旨在提高QMLE的效率，同时保持稳健性。这类文献的例子包括Francq等人（2011a）、范等人（2014）以及普雷明格和斯托蒂（2017）。图5和图11显示了尾部指数估计。
{ }T3=1估计不再支持4<∞Eb从每日标普500（对数）收益和VIX水平。到各自数据样本的末尾，点t tE对于标普500（对数）回报，虽然没有证据支持t
根据图5和图11中的经验证据，选择f作为 Bollerslev（1987）的（标准化的）学生氏-t密度似乎是一个直观上吸引人的选择。在以下情况下g是（非常）重尾但f是高斯，参数α在（2）中，必须，从某种意义上说，加倍努力控制重尾特征的Y无条件地。也就是说，当fα{是高斯，是唯一模型参数t}t Z∈能够捕捉这些重尾效应，其中这些效应源自于“反应性”σ2t t Z∈至于上一期的冲击或静态特征f{t} . 如果，相反地，是（标准化的）学生t-t Z∈t密度，则额外的自由度参数可以捕捉静态尾部特征{t} ,t Z∈允许α专注于动态特性σ2选择上的麻烦在于f作为（标准化的）t t学生的密度函数，然而，是所得的非高斯、准最大似然估计量（NGQMLE）对密度设定错误不是稳健的（参见；例如，Newey和Steigerwald，1997年，以及Fan等人，）Z∈2014）。具体来说，从Fan等人（2014，命题1）中，NGQMLE源中的偏差导致对规模的欠识别f g= { ,当.4<对于VIX水平。从Hall和Yao（2003）的研究中，当Et用收敛速度降低的极限（相对于√n此时，因此，QMLE（应用于标普500回报率和VIX水平时，至少）的效率差距似乎比 ∞ 更大。4t= ∞ ，QMLE具有非高斯文献文档。
4t}t Z∈6本文研究了应用于模型(1)和(2)的方差目标NGQMLE(VTNGQMLE)，其中f是博勒斯勒夫（1987）的（标准化的）学生-t密度。5当g是（相对）薄尾的，以至于E Y4
