基于浮动频率傅里叶变换视角，解析技术分析的数学本质及趋势判断

基于浮动频率傅里叶变换视角 解析技术分析的数学本质及趋势判断 中泰证券研究所金融工程 倪孝威证券分析师执业证书编号：S0740522100002邮箱：nixw@zts.com.cn 张天伦证券分析师执业证书编号：S0740525070005邮箱：zhangtl01@zts.com.cn 研究要点 ⚫报告从系统科学视角出发，深入探讨波浪理论与江恩理论这两种主流技术分析方法在金融市场动力学系统中的数学本质。通过对傅立叶变换原理的数学建模，揭示了两种经典技术分析理论分别对应频谱分析中的振幅域与时间域特征。 ⚫传统傅立叶级数在金融时序分析中的理论局限性，引入概周期函数理论解释市场分形结构，并基于翁文波院士提出的浮动频率理论，研究了突破基频约束的量化宏观分析框架。 ⚫在上述研究基础上，我们构建了基于双重优化方法的浮动频率傅立叶变换模型。作为系列研究的第一篇，本报提出的模型相较于传统的傅立叶变换模型与浮动频率傅立叶变换模型，在灵活性与拟合准确性上具有优势。最后，我们基于近10年数据对市场未来2-3年维度做出拟合预判。 风险提示：报告资料均来源于公开数据，分析结果通过历史数据统计、建立模型和测算完成，在政策、市场环境等发生变化时模型存在失效的风险。 一、傅立叶理论简析 目录 二、波浪理论与江恩理论的数学本质 三、基于浮动频率的傅立叶变换 C O N T E N T S 四、基于双重优化的浮动频率傅立叶变换 CCONTE傅立叶理论简析 系统动力学与频谱分析框架 •依据动态系统理论，金融市场作为复杂开放系统，其价格运动可表述为时间变量t的微分方程 图表1：不规则形状的函数可以由傅立叶级数进行逼近 •上式中P代表价格向量，ε(t)表征外部扰动项。通过傅立叶变换，该函数可解构为三角级数叠加： 系统动力学与频谱分析框架 •傅立叶变换建立两大核心命题： 命题一：周期信号可表示为谐波相关正弦信号的和 命题二：非周期信号可由正弦信号的积分重构 •迪利克雷条件（Dirichlet Conditions）保证变换可行性： 条件一：周期内存在有限个间断点条件二：极值点数量有限条件三：函数绝对可积（∫|f(t)|dt < ∞） •金融市场价格作为连续时间序列，其运动可视为不同频率正弦波的无穷叠加，满足傅立叶级数展开的数学基础。应用傅立叶分析，可以从时间域和频率域维度对其进行拆分、组合，三角级数便成为了理解、分析价格序列的基础构件。 系统动力学与频谱分析框架 •从本质上看，傅立叶变换是一种"分而治之"的思维：任何复杂的连续信号，都可拆解为若干简单正弦波的组合。 •从时域角度观察，价格走势是一条连续曲线；从频域角度拆解，这条曲线则是不同频率、不同振幅的正弦波叠加的结果。 •这种视角转换，为理解波浪理论与江恩理论的底层逻辑提供了数学依据。 CCONTE波浪与江恩理论的数学本质 波浪理论 •波浪理论由美国证券分析家艾略特提出，是一种基于市场价格波动周期性与规律性的市场分析理论。其核心观点认为，股价变动循环由“八浪结构”构成，即5浪上升阶段与3浪调整阶段形成的完整周期，且循环具有层级延续性——前一循环结束后将自然进入下一“八浪循环”。该理论的实践价值在于通过识别波浪形态与级别，为价格走势预测提供分析框架。 •一轮完整的上升行情到调整行情的形态，如图所示。其中包括5个上升浪1、2、3、4、5和3个下跌浪a、b、c，第1、3、5浪因其上升形态被称为推动浪，而第2、4浪的下跌形态被称为调整浪，而就其高一级的波浪而言，第1至5浪称为大推动浪，而a、b、c三浪称为调整浪。 波浪理论 •当图表2所示的最初的八浪循环结束时，一个相似的循环会接着发生，接着发生五浪运动，这种完整的演化产生了五浪模式，它比组成它的各浪大一个浪级（也就是相对规模），其结果到达五浪（5）的顶点，然后是对应（a）、（b）、（c）三浪模式为调整浪。 •如图表3所示这种结构揭示出一个要点：驱动浪并不总是向上，而调整浪并不总是向下。 波浪理论中1浪与2浪的核心特征解析 •波浪运动的本质在于其与群体心理周期的内在关联，群体情绪从悲观到乐观或反之的转换，均在相应的波浪结构中得到体现。 •第1浪的表现呈现两种典型情形：约半数情形下，第1浪构成底部形态的组成部分，因此易遭第2浪显著回撤；但其上涨动能通常强于熊市中的反弹行情。另一种情形是，第1浪自长期底部形态完成后启动，此类第1浪往往动能强劲，后续第2浪调整幅度通常有限。 •第2浪通常会回撤第1浪的绝大部分涨幅，导致第1浪的多数收益在该阶段被侵蚀，市场普遍倾向于认为熊市尚未终结。其终结常伴随成交量萎缩与价格波动幅度收窄，暗示抛压衰竭。从形态特征看，第2浪多以简单形态呈现；遵循波浪理论的交替原则，第2浪与第4浪在形态复杂度上呈现简单与复杂交替的特征。 波浪理论中3浪与4浪的核心特征解析 •第3浪作为推动浪中动能最为强劲的阶段，其走势呈现显著的加速力度特征，在时间跨度与价格涨幅维度上通常为第1至第5浪中最长的一浪，且必然不会成为1、3、5浪中最短的一浪，这是波浪理论的核心准则之一。该阶段往往伴随成交量的显著放大与价格波动率的攀升，具体表现为一系列突破形态、成交量激增及跳空缺口等市场异象，这些特征为第3浪的识别提供了关键依据。 •第4浪通常以相对复杂的形态呈现，其调整深度与形态特征遵循波浪理论的交替原则，与第2浪形成显著差异，因此具备较高的可预测性。从形态类型看，第4浪多表现为盘整形态；值得注意的是，其调整低点（即第4浪终点）不得与第1浪的高点形成重叠，这构成波浪理论的另一项核心准则。 波浪理论中5浪的核心特征解析 •第5浪作为最后一个推动浪，常呈现创新高的走势，但其涨幅一般小于第3浪，且存在失败形态的可能性，即该浪无法突破前期高点，其顶点低于第3浪的浪顶。在股市环境中，第5浪的上升力度通常弱于第3浪，价格变化速率亦相对放缓；若第5浪出现延长形态，其成交量可与第3浪持平。 •通常而言，第5浪的成交量始终低于第3浪，这是识别第5浪的重要规则之一。在第5浪的上升过程中，投资者乐观情绪处于高位，但市场在上升力度、成交量等方面会呈现不同程度的顶背离信号。 波浪理论中abc浪的核心特征解析 •a浪标志着针对此前第1至第5浪上升行情的总调整的启动。此阶段，市场参与者普遍未能意识到趋势的根本性转折，仅将其视为短期回调。尽管技术形态已明确呈现调整特征，但多数投资者仍倾向于在回调过程中加仓买入。a浪的形态特征将为后续b浪的走势奠定基础。 •b浪可被视为一种虚假的多头行情，其运行过程中通常缺乏成交量的有效配合。该浪是前期多头离场的关键窗口期，属于典型的“多头陷阱”。对于投机者而言，b浪往往存在短期交易机会。部分个股在此阶段可能呈现极强的走势，这会使得市场投资情绪趋于狂热，投资者警惕性下降、理性缺失，进而在后续c浪中遭受重大损失。 •c浪是调整过程中跌势最为猛烈的一浪，具有极强的破坏性。其跌幅显著且持续时间较长，在股票市场中通常伴随白马股的补跌，在该浪运行过程中，投资者在a浪和b浪中所抱有的乐观预期将彻底破灭，市场再度陷入恐慌状态，形成多杀多的恐慌性抛售格局。通常情况下，c浪的运行长度会大幅超过a浪。 波浪理论的缺陷和历史因素 •尽管在市场分析领域具有一定影响力，波浪理论本质上属于“路径研究”范畴，存在显著的理论缺陷：其体系缺乏内在严谨的逻辑一致性，理论完备性不足，最终导致分析结论呈现“定性描述有余，定量验证不足”的特征。 •这一局限性的形成与艾略特的个人背景密切相关：其职业生涯主要任职于美国铁路公司（会计岗位），结合20世纪的教育体系与知识结构，使其理论构建侧重形态归纳而弱化了量化逻辑。艾略特于1927年退休后专注股市研究并提出该理论，后经与投资顾问柯林斯合作（1934年起）、担任《金融世界》编辑（1938年）及发表系列文章（1939年）得以传播，最终在1946年（去世前两年）完成理论集大成之作《自然法则——宇宙的奥秘》。 由谐波正弦信号的叠加引出波浪理论 •为直观呈现谐波叠加对股价波动的模拟效果，我们构建如下函数 y(n) = 4*sin(0.00125n)+2*sin(0.01n)+1*sin(0.04n)+0.5*sin(0.16n) •模型细节： ①变量含义：n为自然数（代表时间），y (n)为价格指数。②频率结构：基频0.001，谐波呈2^k关系（k=-3,0,2,4）③振幅衰减：系数符合2^{-m}规律（m=-1,0,1,2）④波动形态：叠加产生32波结构，完美呈现5-3浪型 波浪理论：纵轴上的傅里叶级数 •清晰可见“5升3落”的波浪曲线，整体由4个（53）结构组成，共32波，调整浪则呈现3-5-3模式。这与艾略特波浪理论描述的形态高度吻合。 •因此，波浪理论本质是傅立叶级数在振幅（纵轴）维度的表达，其核心在于量化不同级别波浪的价格幅度关系。 •波浪理论的价值在于将连续的价格波动转化为离散的"浪型代码"（1-5浪、A-C浪），为无序走势赋予可分析的秩序。但其局限性也源于此：过度依赖形态划分可能忽视频率叠加的本质，导致"千人千浪"的争议。 江恩理论的引出：横轴上的周期探索 •江恩理论的核心是时间周期分析，主张"时间是市场的第一要素"，通过研究周期循环预判股价转折点。从数学本质看，江恩理论聚焦于傅里叶分析的"时间轴"（横轴），即不同频率正弦波的周期（或频率）特征。 •江恩对周期的理解可通过频率叠加解释：股价的重要转折点（如浪顶、浪底）往往对应多个正弦波的波峰或波谷叠加时刻。例如，某时 刻若1波（主周 期）、4波（次周期）、16波（短周期）同时处于波峰，则该时刻很可能成为重要顶部——这与江恩"时间窗口"的概念高度一致。 江恩理论简析 江恩理论的核心命题在于金融市场存在可量化的自然规律，其本质是时间与价格的共振效应。该体系建立在三重数学基础上： 1.时间周期法则：市场波动受自然节律支配，形成多层次嵌套周期。关键周期包括： •30年经济长周期（对应360°圆周，可八等分衍生45个月中期周期）。 •10年牛熊转换周期（如1929、2000、2008年美股危机均符合10年规律）。 •季节性周期（1月效应、5月卖出策略），本质是地球公转对市场情绪的映射。周期共振原理表明，当长、中、短周期交汇时，趋势转折概率显著提升。 2.几何学与比例分割：江恩通过几何工具将价格波动抽象为空间向量： •回调比例：采用八分法（12.5%、25%、37.5%、50%、62.5%、75%、87.5%），区别于斐波那契数列，强调50%为多空分水岭。 •角度线构造：以1×1线（45°角）为趋势平衡轴，1×2线（63.75°）示加速，2×1线（26.25°）示减速，形成动态支撑/阻力通道。 •轮中轮与六边形模型：将价格嵌入360°圆周，每15°对应一个价格转折节点，通过螺旋扩张定位关键阻力位（如A股2009年3456点见顶与四方图预测吻合）。 3.波动率量化模型：江恩提出“波动法则”（Law of Vibration），认为资产价格存在固有波动率，可通过数字表（如以9、12、52为基数的四方形）计算共振点。 江恩理论：横轴上的周期探索 •江恩强调，市场的长期循环为180年、90年、82-84年、60年、49年、45年、30年及20年，中期循环为15年、13年、10年、7年、5年、3年、2年、1年等。在江恩的周期理论中，30年的周期处于理论的中心地位，江恩特别重视30年循环，认为长、中、短周期均由其倍数及分数确定，30年里面共有360个月，是一个完整圆形循环，所以30年循环周期在市场中的作用特别突出。 •从细微4分钟的小循环，大至180年的超级大循环，江恩都巧妙地将其纳在一个圆形中，为投资者分析市场提供了分析工具。 •在30年循环周期内，江恩认为重要的周期还有20年、15年、30年、10年、7年等。这些周期与30年循环存在着相互关系，被认为是30年循环的子循环，