[DataFunSummit2022：图机器学习峰会]：6-4 浅谈组合优化问题求解中的机器学习方法

组合优化问题求解中的机器学习方法

组合优化问题

组合优化问题是一类在离散状态下求极值的最优化问题，数学模型为：$\min_{\mathbf{x}} f(\mathbf{x}) \quad s.t. \; g(\mathbf{x}) \geq 0, \; \mathbf{x} \in \mathbf{X}$，其中 $f(\mathbf{x})$ 为目标函数，$g(\mathbf{x})$ 为约束条件，$\mathbf{x}$ 为决策变量，$\mathbf{X}$ 表示离散的决策空间，为有限个点组成的集合。

一些基本的组合优化问题包括：

背包问题 (Knapsack Problem, KP): 在有限容量背包中装入物品，最大化总价值。
旅行商问题 (Travelling Salesman Problem, TSP): 在图中找到访问每个城市一次并返回起点的最短路线。
车辆路径问题 (Vehicular Routing Problem, VRP): 找到访问所有节点并最小化成本的路线。
最小顶点覆盖 (Minimum Vertex Cover, MVC): 找到覆盖所有边的最小节点子集。
最大独立集 (Maximal Independent Set, MIS): 找到图中不相连的最大节点子集。

组合优化问题根据复杂度可分为 P 问题、NP 问题、NP-complete (NPC) 问题、NP-hard 问题。少数问题如最小生成树、最短路属于 P 问题，大多数问题没有精确的多项式时间算法，许多问题如 TSP、MVC 是 NP-hard 的。

求解组合优化问题的传统方法

传统方法包括：

精确算法: 如分支定界法、动态规划法，优点是能得到精确解，缺点是计算量大，难以扩展到大规模问题。
近似算法: 如贪心算法、局部搜索算法，优点是在可接受时间内得到近似解，缺点是解的质量没有保证。
启发式算法: 如模拟退火算法、禁忌搜索、遗传算法、蚁群优化算法、粒子群算法，优点是速度快，缺点是解的质量没有保证。

传统算法面临的挑战包括：针对性强，难以推广到其他问题；对实例修改需要重新运行；难以应对新出现的大规模和复杂度问题。

机器学习算法的优势

机器学习算法在求解组合优化问题方面具有以下优势：

自动学习规律或经验，得到问题的近似解。
挖掘人工算法难以发现的有用性质。
适用于多个组合优化问题，如 S2V-DQN 可以解决 TSP、MVC、MaxCut。

机器学习方法

用于求解组合优化问题的机器学习方法包括：

注意力机制: 如 RNN、LSTM、GRU、Encoder-Decoder、Transformer，允许 Decoder 使用 Encoder 的任何隐藏状态，提高模型效果。
图神经网络 (GNN): 如谱域 GNN、空域 GNN、GCN、GAT，从图数据中提取特征，提高模型效果。
(深度)强化学习 (RL): 将 CO 问题建模为顺序决策过程，智能体通过执行一系列动作来与环境交互找到解。RL 算法可分为 Model-based 和 Model-free 两类，Model-free 方法进一步分为 Value-based 和 Policy-based 方法，以及将这两种方法相结合的 Actor-critic 方法。

求解组合优化问题的机器学习算法

求解组合优化问题的机器学习算法主要有两种模式：

端到端: 直接从输入数据到输出解，具有求解速度快、泛化能力强的优势，但解的最优性很难保证。
与运筹算法相结合: 例如与分支定界相结合，具有较好的优化效果，但求解速度仍然远不及端到端方法。

一些具体的算法包括：

基于注意力机制: Pointer networks、Attention，learn to solve routing problems！
基于图神经网络: Combinatorial optimization with graph convolutional networks and guided tree search、Learning combinatorial optimization algorithms over graphs (S2V-DQN)