博弈论视角的风格与行业轮动：组合配置新思路

博弈论基本概念 博弈论使用数学模型研究博弈参与者(或称决策者)之间的竞争与合作，博弈论可以应用于政治、经济、社会、生物等诸多领域。博弈论的研究目标是帮助参与者理性决策，以找到决策的最优解、达到收益最大化。 每个博弈中要求至少有2个参与者，每个参与者至少有2个决策选项，参与者既可以是单个个体，也可以是单个个体形成的联盟。 本文的研究对象不是投资者之间的博弈，因为投资者行为无法定量刻画；本文研究对象是证券之间、证券和市场之间的博弈，例如特定证券和组合希望在博弈中战胜市场。通过计算博弈参与者使用各种策略的概率，相应就得到了组合中的资产权重。 接下来我们结合大盘成长、大盘价值、小盘成长、小盘价值4个风格轮动的具体投资问题，对博弈论基本概念做进一步说明。 博弈论概念与风格轮动博弈论中的博弈分类 根据不同的分类标准，可以将博弈论研究的博弈分为以下几个类型： 零和博弈(Zero Sum Game) 非零和博弈(Non 零和博弈是指一个参与者的收益与其他参与者的损失(负收益)相等；而在非零和博弈中，全部参与者的收益之和并不等于0。 静态博弈(Simultaneous Game) 动态博弈(Sequential Game) 静态博弈是指各个参与者同时行动，事先不知道其他参与者的策略；动态博弈是指参与者采取的策略有先后顺序，可以事先知道其他参与者的行动。 非合作博弈(Non 合作博弈(Cooperative Game) 非合作博弈是指参与者之间存在竞争关系，每个参与者独自决策，使得自身收益最大化，参与者相关之间没有达成协议(contract)；通常所说的博弈一般是指非合作博弈。 合作博弈是指参与者结成联盟，争取联盟效用最大化，并在联盟内部进行分配。合作博弈一般是非零和博弈。 博弈论与投资组合 之所以能用博弈论解决投资组合问题，是因为两者有相似之处： 投资者希望自己选择的证券能够战胜市场基准。 在非合作博弈中，也可以将每个具体证券、市场基准看做参与者，证券希望在博弈中战胜市场基准，可将超额收益视为博弈的支付，这与相对收益投资相似。 投资者需要根据投资组合中各证券的贡献分配权重，以实现收益最大化。 在合作博弈中，将多个具体证券看做参与者，证券之间结成联盟后，根据参与者贡献分配权重，以实现联盟的最大利益，这与绝对收益投资相似。 在非合作博弈的混合策略纳什均衡中，参与者选择具体策略的概率，与投资中对具体证券权重的确定也有相似性。 非合作博弈的核心概念——纳什均衡 纳什均衡 纳什均衡是非合作博弈中的核心概念。一个博弈中，如果在其他参与者策略确定的情况下，每一位参与者当前的策略都是最优的，参与者没有动机改变当前策略，这个策略组合就被称为纳什均衡(Nash Equilibrium)。 纳什均衡定义 对于𝑛名参与者的博弈𝐺，记策略空间为𝑆,𝑆……,𝑆，参与者𝑖的任一策略𝑠∈𝑆，参与者𝑖在博弈中的收益为𝑢。则在博弈𝐺={𝑆,𝑆……,𝑆;𝑢,𝑢……,𝑢}中，由各个参与者 𝑛 𝑖 𝑖 𝑖 纯策略与混合策略纳什均衡 纯策略纳什均衡 如果博弈的参与者只能选择一种策略，称为纯策略(Pure Strategy)，达到的纳什均衡就是纯策略纳什均衡。纯策略纳什均衡并不一定存在。 ∗𝒊 在式(1)中，当𝒔和𝒔只表示单一策略时，就是纯策略纳什均衡。 𝒊 混合策略纳什均衡 如果博弈的参与者可以以某种概率分布随机地选择多个策略，称为混合策略(Mixed Strategy)，达到的纳什均衡就是混合策略纳什均衡。 在式(1)中，如果参与者𝑖不再只能选择单一策略𝑠∈𝑆，而是可以在策略空间𝑆中以概率分布σ选择多个策略，并且 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 ∗𝒊 𝐸表示数学期望，对任意𝑠∈𝑆和任意参与者𝑖都成立，就是混合策略纳什均衡。此时𝒔和𝒔不再表示单一策略，而是以概率分布同时出现的多个策略。 𝑖 𝑖 𝒊 纯策略纳什均衡——囚徒困境 在一个博弈中，有2个参与者：{𝑎,𝑏}，策略空间为：{坦白，抗拒}。 参与者𝑎,𝑏的收益矩阵为如下， 这个博弈存在纯策略纳什均衡，纳什均衡点为𝑎,𝑏均坦白，双方收益均为3。 使用nashpy计算纳什均衡 混合策略纳什均衡点计算结果： 纳什均衡状态下的两个参与者收益=rps[eqs[0][0],eqs[0][1]] 混合策略纳什均衡——石头剪刀布 在一个博弈中，有2个参与者：{𝑎,𝑏}，策略空间为：{石头，剪刀，布}。 参与者𝑎的收益矩阵为如下，记为A，参与者𝑏的收益矩阵为-A 这个博弈不存在纯策略纳什均衡，因为收益为-1的一方总是能够改变策略以提高收益。 但是这个博弈存在混合策略纳什均衡：参与者以各1/3的概率使用三种策略。 使用nashpy计算纳什均衡 混合策略纳什均衡点计算结果：[[0.3333, 0.3333, 0.3333], [0.3333, 0.3333, 0.3333]] 纳什均衡状态下的两个参与者收益=rps[eqs[0][0],eqs[0][1]] 混合策略纳什均衡计算 达到混合策略纳什均衡时，每个参与者自身选择的不同策略具有相同的期望收益。 在石头-剪刀-布博弈中，假定参与者A使用石头、剪刀、布策略的概率分别为𝑥、𝑦、1−𝑥−𝑦，参与者B使用石头、剪刀、布策略的概率分别为𝑝、𝑞、1−𝑝−𝑞。 参与者A选择策略石头、剪刀、布的期望收益如下，且𝑈 =𝑈 =𝑈，有：布 石头 剪刀 可以得到𝑝=1/3,𝑞=1/3；同理得到𝑥=1/3,𝑦=1/3。即参与者以各1/3的概率使用三种策略。 合作博弈基本概念 合作博弈是指若干参与者结成联盟，共同合作争取联盟效用最大化，并在联盟内部进行分配。当联盟成立后，组成联盟的参与者不再关心自己的利益，而是为整个联盟的最大利益而努力。 我们使用(𝑁,𝑣(𝑆))来定义一个合作博弈，博弈中共有𝑁={1,2,……,𝑛}个参与者，参与者的子集(包括空集和全集)可以任意结成联盟𝑆，𝑆共有2种组合。𝑣(𝑆):𝟐∈ℝ是联盟𝑆的收益，也被称为特征函数(Characteristic Function)。 𝑁 𝑵 特征函数的性质 空集的特征函数为0，即𝒗∅=0 联盟规模越大，特征函数(联盟收益)越高，这一性质被称为超可加性(Superadditivity)。即对任意𝑆⊆N,𝑆⊆N,𝑆∩𝑆=∅，有𝑣𝑆+𝑆≥𝑣𝑆+𝑣(𝑆)。 合作博弈收益的分配 合作博弈最大的一个特点是在联盟的收益形成后，需要通过协议在参与者之间分配。我们接下来重点介绍收益的分配，因为在证券投资问题中，分配规则也决定了如何确定证券的权重，而权重分配是投资策略的最终落脚点。 对于合作博弈𝑁,𝑣𝑆，𝑁=1,2,…,𝑛，对每个参与者𝑖∈𝑁,收益分配结果为实数𝑥，形成的𝑛维向量为𝑥=( 𝑥1 ,……,𝑥)，如果𝑥满足： 𝑖 𝑁 则称𝑥是联盟的一个分配(Allocation) 式(3)表明分配有两个特征：①所有参与者的收益分配之和不能超过全集的收益；②每个参与者通过联盟获得分配的收益不能低于他自身参与博弈应得的收益，即合作的收益不能小于非合作的收益。 收益分配中的核心 如果一个分配𝑥=( 𝑥1 ,……,𝑥)，对于全集𝑁的任意子集𝑆⊆N，都有 𝑁 则称𝑥是分配的核心(allocation in the core) 分配的核心的含义是：对于结成的每个联盟，分配方案应该使得联盟所有参与者的收益之和，不低于他们形成的联盟的收益。 分配的核心——例A 某合作博弈有{1,2,3}共3个参与者，特征函数值(联盟收益)如下表所示： 特征函数值 根据分配的定义、分配的核心的定义，有： 可以得到 𝑥3 ≥1, 𝑥1 ≥0, 𝑥2 ≥0，因此分配的核心中只有一个方案： 合作博弈分配规则——Shapley 在例A中，参与者3获得了全部收益，参与者1、参与者2收益为0。但是根据特征函数有𝑣3=0，即参与者3仅依靠自身无法获得任何收益，因此分配方案并不合理。 Lloyd Shapley给出了另一种收益分配规则，称为Shapley值。根据Shapley值，每个参与者应得的收益与他对联盟的贡献正相关，而参与者对联盟的贡献是通过当他在联盟中，以及不在联盟中时联盟的收益差距来衡量的。 令𝑣为特征函数值，则合作博弈中参与者𝑖(𝑖∈𝑁)的Shapley值𝜑𝑣，是从联盟收益到参与者获得分配的映射，计算公式为 𝑖 其中|𝑆|表示联盟𝑆中元素的个数，𝑣𝑆为联盟𝑆的收益，𝑣𝑆\{𝑖)为联盟𝑆中剔除参与者𝑖之后的收益，则[𝑣𝑆−𝑣𝑆\{𝑖)]表示参与者𝑖在他所参与的联盟𝑆中做出的贡献，联盟𝑆 𝑛−𝑆!𝑆−1! 存在的概率为 。因此参与者𝑖获得的分配等于他对各个联盟的边际贡献的 𝑛! 概率加权值。举例A中3个参与者的Shapley值，即分配结果为(1/6, 1/6, 2/3)。 值的性质 σ 有效性。所有参与者的Shapley值之和等于全集联盟的收益，即 𝜑𝑣=𝑣𝑁 𝑖 𝑖𝜖𝑁 对称性。如果对任意两个参与者𝑖和𝑗，以及不含𝑖和𝑗的联盟𝑆，有𝑣𝑆∪𝑖=𝑣(𝑆∪𝑗)，那么有𝜑𝑣=𝜑𝑣。 𝑖 𝑗 虚拟参与者。如果参与者𝑖在任何情况下都没有贡献，那么其Shapley值为0。即如果对全部𝑆，都有𝑣𝑆∪𝑖=𝑣(𝑆)，那么𝜑𝑣=0。 𝑖 可加性。对两个特征函数𝑣和𝑢，有𝜑𝑣+𝑢=𝜑𝑣+𝜑(𝑢)。 值的计算 我们计算例A中各参与者的shapley值，特征函数值如下： 特征函数值 (1, 2, 3) 3名参与者一共可以形成8种联盟结果，包括空集和全集。其中包含参与者的联盟有4个，分别是(1), (1,2), (1,3), (1,2,3)。 这4个联盟的特征函数值分别是{0, 0, 1, 1}；当这4个联盟中不含参与者1时，特征函数值分别是{0, 0, 0, 1}。 则参与者1的Shapley值为： 同样可以计算得到参与者2、参与者3的Shapley值𝜑𝑣=,𝜑𝑣=， 博弈论方法的风格轮动策略 本节使用博弈论框架完成大盘成长、大盘价值、小盘成长、小盘价值4种风格的轮动，同时也给出行业轮动的初步效果。 我们通过倒序的方式说明博弈论投资模型的几个关键步骤： 框架最终目标是计算投资组合中的资产权重，这里采用合作博弈中的Shapley值收益分配方法。这是由于两者原理相同：对联盟贡献越高的参与者，所获得的收益分配越高；同样，对投资组合贡献越大的资产，所获得的权重分配也越高。 而若要在合作博弈中分配收益，需要先得到特征函数值，即每个参与者及参与者形成的各个联盟的贡献。这里通过计算每个联盟与市场基准的非合作博弈在纳什均衡点的收益来实现。 为了计算纳什均衡点的联盟收益，首先要选择合适的参与者、参与者策略，建立非合作博弈。 博弈论投资方法框架非合作博弈的建立 我们首先建立风格资产和市场基准之间的非合作博弈。 博弈中风格资产参与者有两个：大盘和小盘；成长、价值分别被视为大盘、小盘参与者的两种博弈策略，使用巨潮风格指数表征。大盘、小盘既可以单独与市场基准博弈，也可以结成联盟后再与市场基准博弈。 博弈的另一方是市场基准(使用中证全指)，它能够“选择”三种策略来博弈：牛市、熊市、震荡市。 在参与者大盘、小盘，与参与者市场基准进行的非合作博弈中，大盘、小盘的目标是战胜市场基准，市场基准的目标则是战胜大盘、小盘。 非合作博弈的收益度量 以大盘风格单独与市场基准博弈为例，这是一个零和博弈，大盘风格的博弈收益就是市场基准的损失