Black-Litterman模型研究系列之六：使用BL模型确定因子权重

BL模型与Barra多因子模型的结合 BL模型是在贝叶斯框架下进行资产最优配置的模型，在多因子选股中，也可以将BL模型应用于因子最优权重的分配。 BL模型中的观点设定通常采用分析师的主观观点，分析师观点可能为绝对观点，也有可能是相对观点。通常情况下，相较于股票的收益率，因子收益率表现得更为稳定，且受噪声影响较小，因此更易预测。我们在BL模型中的主观观点也是针对因子收益率产生的。 本文将以Barra多因子模型为例，将前一阶段的因子收益率均值作为BL模型的主观观点，以因子收益率协方差作为观点的信心水平，从而将BL组合权重转化为因子权重，并根据所得的因子权重将因子合成后选股。 ► BL-Barra多因子组合跑赢基准指数及因子等权加权组合 我们将BL-Barra多因子组合、因子等权组合走势与中证800指数走势进行对比，2010-2022/2/28，BL-Barra多因子组合上涨了430.14%，因子等权组合上涨了284.12%，同期中证800指数上涨33.45%。 BL-Barra多因子组合相对于中证800的累计超额收益为397.25%，年化涨幅为14.69%，年化超额收益为12.29%；对因子等权组合的年化超额收益为3.00%。BL模型因子加权结果要优于因子等权组合及基准指数。 风险提示 量化报告的结论基于历史统计规律，当历史规律发生改变时，报告中的模型和结论可能失效。 模型回顾 我们首先简要回顾一下BL模型的公式。详细推导过程请参考《Black-Litterman模型研究与应用之一——理论篇》中的相关内容。 资产收益率的均值为： 资产收益率的协方差矩阵为 以有n个资产、k个观点的组合为例，(1)、(2)中各参数含义如下， 𝜏：确定主观观点的权重，是一个标量，值越小，主观观点权重占比越低 𝜋：均衡收益率向量(n×1向量) Σ：n个资产收益率的协方差矩阵(n×n矩阵) 𝑃：主观观点矩阵，矩阵内数值具体表明了观点涉及哪些资产(k×n矩阵) 𝑄：主观观点收益量，即每个观点所对应的收益率(k×1向量) Ω：表明每个主观观点信心的矩阵(k×k对角矩阵) T：表示转置矩阵 -1：表示逆矩阵 得到式(1)与式(2)的结果后，当无约束条件时通过式(3)计算BL组合权重，其中𝛿为风险厌恶系数。 当存在约束条件时，可以使用均值-方差优化器计算权重。 BL模型是在贝叶斯框架下进行资产最优配置的模型，在多因子选股中，也可以将BL模型应用于因子最优权重的分配。 BL模型中的观点设定通常采用分析师的主观观点，分析师观点可能为绝对观点，也有可能是相对观点。通常情况下，相较于股票的收益率，因子收益率表现得更为稳定，且受噪声影响较小，因此更易预测。我们在BL模型中的主观观点也是针对因子收益率产生的。 本文将以Barra多因子模型为例，将前一阶段的因子收益率均值作为BL模型的主观观点，以因子收益率协方差作为观点的信心水平，从而将BL组合权重转化为因子权重，并根据所得的因子权重将因子合成后选股。 Black-Litterman模型与Barra多因子模型的结合 主观观点的设定 Barra多因子模型中，股票的特征可以表现为其因子暴露，在赋予不同种类的因子暴露以权重的时候，我们的观点为看多/看空某一类风格因子的股票。在将BL模型与Barra横截面模型相结合时，我们把对于特定股票的观点转化为有关因子的观点，把对于特定股票组合的权重配比转化为对于因子的权重配比。 首先我们根据Barra多因子模型构建横截面回归，具体公式为： 其中各参数含义如下: 𝑟：股票𝑖在T+1期的收益 𝑖 𝑓：国家因子收益率 𝑐 𝑥：T期,股票𝑖在因子s上的因子暴露（已知） 𝑖𝑆 𝑓：T+1期的因子收益率（未知） 𝑠 𝜀：个股的特质收益 𝑖 将此公式扩展到𝑛只股票并改写为矩阵形式如下： 其中𝑅为T+1期的股票收益率向量（n×1向量），𝑋为T期因子暴露矩阵（n×k矩阵），𝑓为T+1期因子收益率向量（k×1向量），𝜀为个股的特质收益。我们可以通过最小二乘法求出因子收益率𝑓，并以此作为主观观点。 在实际回归的过程中我们将市值平方根比重作为每只股票的回归权重， 其表现形式为(𝑀𝑉表示股票𝑡的市值)： 𝑡 𝑣0( 0𝑣 0 0⋮ ⋯⋱ ⋯𝑣 𝑀𝑉√𝑛∑ 𝑡𝑀𝑉√𝑖=1 ) 回归权重𝑣= ，回归权重矩阵𝑉= 𝑡 ⋮00 𝑖 𝑛 由此我们将（4）式进行回归，可以得出因子收益率向量𝑓（k×1向量）: 𝑇 −1𝑇 ( 其中，主观观点矩阵𝑃（k×n矩阵）=𝑋𝑉𝑋 ) 𝑋𝑉 式（5）可以表示为： 对于任意风格因子𝑖，我们将𝑓的第𝑖项𝑓进行展开 ，𝑓=𝑃𝑟+𝑃𝑟+⋯+ 𝑖 𝑖 𝑖1 1 𝑖2 2 𝑛 ∑ 𝑃𝑟= 𝑃𝑟，这个式子代表着因子𝑖的风格纯因子投资组合的构建。风格纯因 𝑖𝑛𝑛 𝑖𝑗𝑗 𝑗=1 子投资组合指的是对目标风格因子有1个单位的暴露，而对其他因子（包括国家因子、行业因子和其他风格因子）的暴露为0的因子组合。我们赋予这𝑛只股票以𝑃（矩阵𝑃的第𝑖行）向量中的权重，此纯风格因子投资组合收益率为𝑓，也就是因子收益率向量𝑓中第𝑖个元素。𝑃的每行实际上是不同纯因子投资组合的股票权重，我们将𝑃作为BL模型中的主观观点矩阵，这里的观点都为相对观点，矩阵𝑃中每一行的和为0。BL模型中的观点收益率向量𝑄则为因子收益率向量𝑓，这与之前BL模型系列报告中的公式𝑃∙𝜇=𝑄+𝜀相对应。 𝑖 𝑖 下面我们以5只股票、4个风格因子为例。以这5只股票为范围，我们可以形成这4个因子的4个纯因子投资组合，由矩阵𝑃表示为： 3−5 6.5 2−1( 5只股票的涨跌幅大小为：𝑅(%)= ) 4−0.5( )11.5−4 我们对于4个因子的因子收益率观点向量则为：𝑓(%)= 我们对因子1的观点作出说明，根据𝑓=𝑃·𝑅，假设我们卖出1个单位的股票二并买入1个单位的股票五则可以合成因子1的纯因子投资组合，因子1的因子收益率为4%。 因子权重𝝀的推导 He&Litterman(1999)运用了一种可以测算出BL模型后验收益中每个观点所占权重的方法，在本文中，观点权重即因子权重。我们参考Walters(2009)的证明过程，以BL组合权重公式：𝑤̂=(𝛿Σ)𝜇为基础，对因子权重𝜆的公式进行推导。我们将 ∗−1𝑝 𝑝 资产收益均值的公式进行代入： −1 𝑇−1 ()设𝑀=𝜏Σ +𝑃Ω𝑃，可得： 在这里我们先进行协方差部分的简化： 𝑇𝑃𝛴𝑃 ( )1+τ Ωτ 令𝐴=+ ，并将上式代入𝑤̂中可得： 根据均衡收益率𝜋与均衡权重𝑤的关系：𝜋=𝛿𝛴𝑤，我们可以将上式转化成： 𝑒𝑞 𝑒𝑞 因子权重𝝀与资产权重𝒘的关系 BL模型中，我们通常将资产的先验权重，即均衡权重𝑤通过逆向优化求得均衡收益，并带入BL资产收益率均值公式，最终得到资产的最优权重。在将BL模型与Barra多因子模型结合时，我们选用Barra提出的纯因子模型中的风格纯因子组合权重作为BL模型的先验权重，也就是说，我们赋予每一个所选风格因子𝑖以其方向上的等权权重，并保持其他因子权重为0。那么，先验因子权重𝜆就是一个𝑘×1的等权向量。 𝑒𝑞 𝑒𝑞 下面我们来探究因子权重𝜆与资产权重𝑤的关系。假设针对已有资产我们已知风格纯因子投资组合股票权重，根据上文，也就是BL模型中的主观观点矩阵𝑃，同时 𝜆(⋮)𝜆 我们设定先验因子权重𝜆 = ，我们可以得到下式： 𝑒𝑞 𝐾 为了解释这个式子，我们将其展开： 𝑘𝑖=1 ∑ 我们把针对𝑤的运算进行展开：𝑤=𝜆𝑃+𝜆𝑃+⋯+𝜆𝑃= 𝜆𝑃， 111 221 𝑘𝑘1 𝑖𝑖1 其中𝑃…𝑃为因子1到k的纯因子投资组合中所需的股票1权重,那么等号最右边可以解释为对于每个因子i，其因子权重乘以纯因子投资组合中股票1的权重，将所得加总，最终的结果也就是股票1在整个多因子组合中所占的权重，即𝑤的定义。 𝑘1 𝑇 由此，我们可以将公式𝑤 =𝑃𝜆代入公式（6），可得BL因子权重公式如下： 𝑒𝑞 𝑒𝑞 因子收益率协方差矩阵𝛀与资产收益率协方差𝜮 BL模型中，协方差矩阵Ω是主观观点的协方差，也就是观点收益向量𝑄的协方差矩阵，它反映了主观观点的不确定性。在将BL模型与Barra多因子模型结合的过程中，Ω则为因子收益率的协方差矩阵。在计算因子收益率协方差的时候我们运用了指数加权平均（EWMA），从而赋予临近日期的因子收益率波动以更高的权重。同时，考虑到因子间的滞后影响，我们对Ω进行了波动率偏误调整以及NW-West调整，半衰期为90天。 在已知因子收益率协方差的基础上，根据多因子模型，我们可以通过以下公式求出资产收益协方差：𝛴=𝑋Ω𝑋+𝛥。 𝑇 其中，𝑋为因子暴露矩阵（n×k矩阵），Ω为因子收益协方差矩阵(k×k矩阵),𝛥为资产特异风险矩阵（n×n矩阵）。 BL-Barra多因子选股组合回测结果 在本篇报告中，我们选取了Beta、规模、估值、成长、流动性、动量、波动性、七个常见大类因子（具体细分因子如表1所示），以中证800成分股在2010年1月至2022年2月间的因子收益率为例进行月频选股并将所得资产组合收益率与中证800指数收益进行比较。 式（7）中观点权重τ的值被直接设定为0.05，风险厌恶系数𝛿被设定为0.5。 在设定先验因子权重的时候我们将因子初始权重设为过去1个月各自方向上的等权，同时，我们采用因子动量来计算BL的主观观点部分，把观点收益向量𝑄设定为这八个因子在过去1年的平均因子收益率。因子收益协方差矩阵Ω与资产收益协方差𝛴根据过去1年的因子收益率及股票涨跌幅测算得出。 在进行选股的时候我们根据每月所得的最优因子权重，将这八个因子合成一个新的因子，我们以最大化新因子之和为目标函数，并进行行业中性约束，构成我们的BL-Barra选股组合，平均每期所选股票数量为32只。 在下表中我们罗列出了2021年10月至2022年3月的BL因子权重，每个月的因子权重之和为100%。 同时我们也对因子等权加权的选股方法进行了回测，我们将每个因子设置为过去1个月的因子收益率均值方向上的等权，同样地，以最大化新因子之和为目标函数，加以行业中性约束后将所得股票权重作为我们的因子等权选股组合。因子等权仅考虑了因子动量，相较之下，BL因子加权法通过贝叶斯思想，糅合了因子动量、因子收益率、因子收益率的波动性和相关性，以及股票之间涨跌幅的相关性这些有效信息，从信息量的角度来看融合信息更为丰富。 我们将BL-Barra多因子组合、因子等权组合走势与中证800指数走势进行对比， 2010-2022/2/28，BL-Barra多因子组合上涨了430.14%， 因子等权组合上涨了284.12%，同期中证800指数上涨33.45%。 BL-Barra多因子组合相对于中证800的累计超额收益为397.25%，年化涨幅为14.69%，年化超额收益为12.29%；对因子等权组合的年化超额收益为3.00%。BL模型因子加权结果要优于因子等权组合及基准指数。 总结 本篇报告我们把因子收益率作为BL模型的主观观点，并根据因子权重与资产权重的关系，得到了BL模型最优因子权重的公式，然后将所得最优因子权重代入Barra多因子模型中，并进行了选股的实证研究。 我们选取了中证800指数成分股进行回测，以选股当天前1年的平均因子收益率作为BL模型的主观观点，得出最优因子权重。根据所得