结合马尔科夫链的行业轮动策略：Black-Litterman模型研究系列之四

请仔细阅读在本报告尾部的重要法律声明 1 [Table_Title] Black-Litterman模型研究系列之四 [Table_Title2] ——结合马尔科夫链的行业轮动策略 [Table_Summary] ► 马尔科夫链与BL模型结合 在马尔科夫链（Markov Chain）模型中，每一个时间区间内的数据都有自己独特的统计特性，例如不同的均值和方差。我们可以用状态变量来描述在相邻区间交替的数据变化，现在状态的走势仅取决于前一状态的走势。 资产涨跌幅的时间序列数据是有关联性的数据，并且在不同的时间段会体现出不同的规律，因此我们可以用马尔科夫链模型对过去数据进行分析拟合，判断此刻资产涨跌幅的状态。 对于某一特定时间区间，我们用马尔科夫链拟合出资产条件均值及条件方差，这实际上是对于此刻所处阶段资产涨跌幅走势状态的预测。我们可以将通过马尔科夫链拟合得出的资产条件均值作为BL模型的主观观点，计算BL模型后验权重，作为本阶段的行业选择方案。 ► BL-马尔科夫链组合表现较好，且优于直接马尔科夫链组合和其他加权方法组合 我们用过去三个月的行业指数涨跌幅数据根据马尔科夫链进行拟合，用拟合结果生成BL观点，得出BL后验权重，每次选取BL后验权重最高的三个行业。 为了验证BL模型的有效性，作为对比，我们根据马尔科夫链拟合得出的资产条件均值，直接选择排名最靠前的三个行业，并将其设置为等权，形成直接马尔科夫链行业组合。同时，我们也将BL-马尔科夫链组合与等权加权、市值加权组合进行了对比。 模型回测时，行业选择范围为全部28个申万一级行业，调仓频率为季频，回测区间为2010年至2021年7月。 回测区间内， BL-马尔科夫链组合上涨322.69%，直接马尔科夫链组合上涨213.75%，同期中证全指上涨47.75%。BL-马尔科夫链组合累计超额收益为274.94%、且优于直接马尔科夫链组合。同时，BL后验权重加权也比等权加权、市值加权更为有效。 风险提示 量化报告的结论基于历史统计规律，当历史规律发生改变时，报告中的模型和结论可能失效。 评级及分析师信息 [Table_Author] 分析师：张立宁 邮箱：zhangln@hx168.com.cn SAC NO：S1120520070006 分析师：杨国平 邮箱：yanggp@hx168.com.cn SAC NO：S1120520070002 助理分析师：丁睿雯 邮箱：dingrw@hx168.com.cn 证券研究报告|金融工程研究报告 仅供机构投资者使用 [Table_Date] 2021年8月15日 证券研究报告发送给东方财富信息股份有限公司。版权归华西证券所有，请勿转发。 p1证券研究报告发送给东方财富信息股份有限公司。版权归华西证券所有，请勿转发。 p184662 请仔细阅读在本报告尾部的重要法律声明 2 19626187/21/20190228 16:59 证券研究报告|金融工程研究报告 正文目录 1. BL模型回顾 ..................................................................................... 3 2. 马尔科夫链模型 ................................................................................. 4 2.1. 模型简介 ................................................................................... 4 2.2. EM算法在隐马尔科夫模型中的应用 ............................................................. 5 3. BL模型与马尔科夫链的结合 ....................................................................... 6 3.1. 均衡收益率与主观观点权重 ................................................................... 6 3.2. 马尔科夫链生成主观观点矩阵P和收益向量Q .................................................... 6 3.3. 观点协方差矩阵훀 ............................................................................ 7 4. BL-马尔科夫链行业组合回测结果 ................................................................... 8 4.1. 行业轮动模型参数设置 ....................................................................... 8 4.2. 行业轮动模型的回测结果 ..................................................................... 8 4.2.1. BL-马尔科夫链组合优于直接马尔科夫链组合 ................................................ 8 4.2.2. BL组合权重优于等权加权与市值加权组合 ................................................... 9 4.3. 行业数量的敏感性 .......................................................................... 10 5. 附录：EM算法的详细步骤 ........................................................................ 11 6. 风险提示 ...................................................................................... 12 图表目录 图 1 BL-马尔科夫链组合、直接马尔科夫链组合走势与基准指数对比 .............................................................................. 9 图 2 BL-马尔科夫链组合和直接马尔科夫链组合对中证全指的超额收益 .......................................................................... 9 图 3 BL-马尔科夫链组合对行业数量的敏感性 .................................................................................................................... 10 证券研究报告发送给东方财富信息股份有限公司。版权归华西证券所有，请勿转发。 p2证券研究报告发送给东方财富信息股份有限公司。版权归华西证券所有，请勿转发。 p2 请仔细阅读在本报告尾部的重要法律声明 3 19626187/21/20190228 16:59 证券研究报告|金融工程研究报告 1.BL模型回顾 我们首先简要回顾BL模型公式。详细推导过程请参考《Black-Litterman模型研究系列之一 —— 原理解析》中的相关内容。 BL后验涨跌幅的均值为: 휇푝=[(휏Σ)−1+푃푇Ω−1푃]−1[(휏Σ)−1Π+푃푇Ω−1푄] (1) 后验涨跌幅的协方差矩阵为 Σ푝∗=Σ+[(τΣ)−1+푃푇Ω−1푃]−1 (2) 以有m个资产、k个观点的组合为例，(1)、(2)中各参数含义如下， 휇푝：资产的后验涨跌幅 Σ푝∗：后验涨跌幅的协方差矩阵 휏：确定主观观点的权重，是一个标量，值越小，主观观点权重占比越低 Π：均衡涨跌幅向量(m×1向量) Σ ：m个资产涨跌幅的协方差矩阵(m×m矩阵) 푃：主观观点矩阵，矩阵内数值具体表明了观点涉及哪些资产(k×m矩阵) 푄：主观观点收益向量，即每个观点所对应的涨跌幅(k×1向量) Ω：表明每个主观观点信心的矩阵(k×k对角矩阵) T：表示转置矩阵 -1：表示逆矩阵 得到式(1)与式(2)的结果后，当无约束条件时通过式(3)计算BL组合权重 w=(훿Σ푝∗)−1휇푝 (3) 当存在约束条件时，可以通过均值-方差优化计算权重。 本篇报告中，我们根据马尔科夫链模型，运用EM算法对历史资产涨跌幅数据进行拟合，以计算本阶段资产条件均值向量 휇푎푣푒푟푎푔푒和资产条件均值方差矩阵Σ푎푣푒푟푎푔푒，并将其作为BL模型的主观观点。 证券研究报告发送给东方财富信息股份有限公司。版权归华西证券所有，请勿转发。 p3证券研究报告发送给东方财富信息股份有限公司。版权归华西证券所有，请勿转发。 p3 请仔细阅读在本报告尾部的重要法律声明 4 19626187/21/20190228 16:59 证券研究报告|金融工程研究报告 2.马尔科夫链模型 2.1.模型简介 在马尔科夫链（Markov Chain）模型中，我们可以定义多个连续的时间区间，每一个时间区间内的数据都有自己独特的统计特性，例如不同的均值和方差。一个区间可以为任意时间区间，直到与另一个区间进行交替。在马尔科夫链模型里，我们用状态变量（State Variable）来描述在相邻区间交替的数据变化。现在状态的取值仅取决于前一状态的取值。资产涨跌幅数据是有关联性的数据，并且在不同的时间段会表现出不同的特征规律，因此我们可以用马尔科夫链模型对资产涨跌幅来进行分析拟合。 在模型中，我们有一个马尔科夫链 푆 和一个独立的输出变量 푌。 푌 在T时刻的分布取决于变量 푆 在T时刻的状态。马尔科夫链的状态仅取决于它前一时间区间的状态以及状态的概率转移矩阵。由于我们只能观察到输出变量 푌，无法观察到状态序列푆，所以我们无法对于马尔科夫链的状态本身进行分析。 我们下面引入一个两个状态（푆1和푆2）的马尔科夫链来描述资产涨跌幅数据： {푌1=퐶1+휖1,휖1~푁(0,휎12) 푖푓 푆=푆1푌2=퐶2+휖2,휖2~푁(0,휎22) 푖푓 푆=푆2 (4) 其中，我们的因变量是 푌1 和 푌2。퐶1 和 퐶2 是在两个状态下的资产涨跌幅均值。휖1 和 휖2 是在两个状态下正态随机变量，服从于均值为0、方差分别为 휎1 2 和 휎22 的正态分布。 状态的概率转移矩阵为： 푃푟=[푃푟(푆푡+1=푆1 | 푆푡=푆1)푃푟(푆푡+1=푆2 | 푆푡=푆1)푃푟(푆푡+1=푆1 | 푆푡=푆2)푃푟(푆푡+1=푆2 | 푆푡=푆2)] 在上式中，我们只可以观测到变量 푌（资产涨跌幅）的取值，其他参数无法被观测到，因此此类马尔科夫链被称为隐马尔科夫链。在隐马尔科夫链模型中，我们需要根据已知的 푌 来估计퐶，휖 和转移矩阵 푃푟。 我们用훼푖,1来表示在时间 푡=1 时处于状态 푖 的概率： 훼푖,1=푃푟(푆1=푖 | 푌1)=푓(푌1 | 푆1=푖)푝푖∑푓(푌1 | 푆1=푗)푝푗푁푗=1=[푓(푌1 | 푆1=푖)푝푖] 我们可以得到在时间 푡 时处于状态 푖 的概率： 훼푖,