关于夏普利欧文肖罗克斯（ShapleyOwenShorrocks）分解法的实践者笔记（中）

NO.11632025年8月 理查德·奥多利|罗里·麦吉|塞尔吉奥·奥坎波|冈萨洛·帕斯-帕多 关于夏普利-欧文-肖罗克分解的从业者笔记理查德·奥多利，罗里·麦吉，塞尔吉奥·奥卡波，贡萨洛·帕斯-帕多纽约联邦储备银行员工报告, 第1163号 2025年8月 https://doi.org/10.59576/sr.1163 摘要 将经验或经济现象分解为不同投入的贡献是经济分析中的一个常见目标。然而，在许多情况下，感兴趣的量取决于许多非线性聚合的投入。在这些情况下，分解不一定总和为1，并且通常取决于“归零”投入的顺序。在本文中，我们描述了一种简单但方便的替代方法。我们证明，使用扩展到Shorrocks（1999，2013）中不等式分解的Shapley-Owen值，提供了一种总和为1的可加分解，并且可以容易地从不同投入（或它们组成的群体）对某些总结果的贡献方面进行解释。我们提供了一些示例来帮助实施该方法。我们相信这非常适合于分解经济现象的丰富结构模型，这些模型通常是非线性的。 JEL分类：B4 关键词：分解，方法 本文介绍了初步的研究成果，并且仅提供给经济学家和其他感兴趣的读者，目的是激发讨论并征集意见。本文中表达的观点是作者的观点，不代表纽约联邦储备银行、美联储体系、欧洲中央银行或欧元区的立场。任何错误或遗漏均由作者负责。 要查看作者披露声明，请访问 https://www.newyorkfed.org/research/staff_reports/sr1163.html。 在本简短笔记中，我们的目标是为夏普利-欧文-肖洛克斯分解提供一个简单的概述。分解的目的是获得衡量多个输入（或它们的部分）对某些总体结果贡献的指标。当结果可以表示为输入的线性函数时，分解是直接的：可以通过将所有其他输入设置为它们的基线值（例如零）来获得每个输入的值。但是，当结果是非线性聚合的产物时，例如在经济决策的结构模型中，输入“归零”的顺序很重要。 在分解，开发中Shorrocks(1999,2013)用于研究不平等问题时，运用谢泼利值的概念将每个输入（变量、政策函数或价格）视为一个参与者，并将所关注的成果视为由输入集体“行动”所产生的剩余。通过这种方式，每个输入的谢泼利值为其贡献, 加总为总结果。当一组输入一起移动时，同样的概念也适用，例如在反事实中改变所有价格或初始条件，遵循的一般化夏普利(1953) 中欧文 (1977) 用于玩家联盟。我们在自己的工作中以及在与同事、合作者和学生的讨论中都发现这种分解很有用。 尽管在某些经济领域或研究网络中很常见，但我们认为它是一种使用不足的工具。我们认为，当各种因素之间存在非平凡的交互作用时（几乎所有经济现象都是如此），这种方法可以提供直观的分解。我们的目标是明确地定义分解，并通过完整的示例来说明其用途。我们希望这能促进更广泛的使用。 在进行之前，我们提供一份简短且非详尽的用途列表。2 经济学研究中的分解。它已被用于回归分析中分解R（以色列2007;胡特纳和桑德2012)；以及分解回归变量组的贡献于收益的方差，如艾伦和亚科拉克利斯(2014）；在结构模型中，它已被用于量化在结构生命周期模型中对残疾保险的采用中不断变化的劳动力市场和人口条件的作用（米舒德和维泽尔 2018在收益动态的文献中，它已被用于分解收益变化的更高阶矩，区分雇主和职业转换者的作用（)；卡里略·图德拉、维斯切尔和维策尔 2022),以及房屋所有权的收入风险变化所起的作用(帕兹·帕尔多 2024)；在Hubmer，Halvorsen，Salgado和Ozkan(2024)分解用于核算收益、储蓄、收入和遗产在财富积累中的作用；在 c奥多利，M吉，奥卡姆波，和帕兹帕尔多(2024)我们用它来分解多项Logit模型中回归变量组 的解释力；在企业动态中，它已被用于解释产出波动性的驱动因素(卡比尔和坦 2024);Kwon，Lee和Pouliot(2024) 突出 Shapley 值与最小二乘法之间的关系，并在 Roy 模型的背景下对输入分组进行分解；在阿特雷亚, 戈登, 琼斯和尼尔卡坦(2025）它用于分解由种族差异引起的财富积累差异；米尔 达德(2025)分解了有早期残疾和无早期残疾的个人之间在高等教育中的差距；朋友(2025)利用它来根据分配模型的结构参数解释对数工资方差随时间的变化；和古勒，库里夫和罗宾逊(2025)用于区分回报异质性、长期债务和住房财富流动性对生命周期住房模型中边际消费倾向的贡献。 1. 分解 给定任意函数Y=f(X,X, ...,2 Xn), 基于夏普利-欧文-绍罗克斯1 分解是一种分解价值的方法f(·)输入到它的每一个参数中X,X, ..., Xn直观上，这是每个论点如果它会做出的贡献2 删除从函数中。然而，因为函数可以是非线性的，所以在分解中一般来说移除参数的顺序很重要。函数f(·)可以是回归的结果，例如预测值或残差平方和，或结构模型的输出，例如给定模型参数或组件的变量的反事实值，或样本的转换，例如基尼系数。 夏普利-欧文-绍罗克斯分解是满足四个重要性质的唯一分解。 (i)在加法下的精确分解。令Cj表示论证的贡献Xj对函数值的f(·), 以便C f ·可解释为比例f X1 /可归因于(.)( )j(ii)关于参数顺序的对称性。也就是说，变量的顺序Xj被移除f(·)不会改变Cj .. (iii)该分解对具有空效应（无关性归一化）的因素分配零贡献。如果一个因素Xj永远不会改变函数的结果，这是一种记号滥用 ∂fj(·) = 0 处处成立，则Cj= 0. (iv)归因算子在线性函数的分解上是线性的。这是一个有用的闭包要求，这意味着贡献随着结果函数的缩放线性缩放，并且对于结果的组合是线性的。 输入X j的贡献然后 k=0 s⊆ Sk\{Xj哪里n是原始函数中参数的总数f,S\{Xkj}是集合 例如, Xn)2–1S\X=f(X),.1f(X), ...,在上面的括号中的分解2) 包括所有可能的排列组合(n–k–1)!k!分解顺序。因此，n可以被解释为其中一个! 12f(Xnn)–1该特定子模型k变量在所有模型大小都同等可能时随机选取。例如，如果n= 3，存在规模为{0，1，2}的子模型。在2 kkk=0=1=2我们在文档末尾提供了Matlab中分解的一个简单实现，并概述了算法如下。特别地，有2个模型的排列排除了每个变量：{(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}。 |{z} | {z } |{z} 夏普利-欧文-肖罗克算法 输入：跨“子模型”的变量输入和值。 (a) : a 二进制 2n×X n矩阵。在“子模型”中给出输入。(b)F: a 2n×1 模型值向量。 The rows ofX和F对应于“子模型”。一行为零表示参考值或空模型。一行为一表示全模型，包含所有输入。 输出：C, a×n 1 输入贡献的向量。th 计算 j 输入的贡献： • 遍历子模型大小，k = 0,...,n – 1。• 初始化贡献为0，C(j ) = 0。 \ {.ii 寻找子模型SkXj}：行X与k输入和没有j iii 遍历 ∈ s S k \\{X j } 更新输入 j 的贡献： 2. 线性示例 我们从线性聚合结果的基准案例开始。在这种情况下，自然分解就是每个输入的单独值，因为它们已经是可加的。我们以此案例来说明公式（中的权重方案如何...2)工作。 考虑一个具有3个变量的线性模型： 考虑部分效应X on3 Y. 有四种可能的模型可以排除X一个不含变量的，一个含一个变量的，一个含两个变量的2 2β 33 在所有四个模型中，包含的局部效应X始终是 (∪{X})–3 2X (n–k– 1)!k!X=f( ) =3β3∀fs s X s.3 3因此，线性是变量包含以构建的顺序这样的C3 无关紧要： \{X}:|s|=3注意，如果原始函数接受任意数量的变量P：= ( ，X, ...,X) =n 因此，在线性情况下，分解在数学上与通常的回归分解相同。我们在每种排列中对相同对象进k2X (3 –k– 1)!k!X=β3X=Y f X1 2βjj=1Xj j 行平均，因为在这种情况下效应不依赖于顺序。3β. 唯一的差异是数字n–1 3X3子模型的数量呈指数增长：2，但包括的局部效应Xj对于一些∈ j{0, 1, ...,n} 始终是βXj j. 3. 非线性示例 I3!k=0 s⊆ S\{X}:|sk|=3我们用一个包含非线性的简单模型来说明这种分解的价值 kn= 3个变量： 13β +目标是分解Y进入每个变量的贡献（或部分效应）。 删除 X 。排除有四种可能的模型X—一个没有变量的11两个含一个变量，一个含两个变量：1βX+1βXX. (5) 在所有四个模型中，包含的部分效应始终为（∪ X f s X）– f (s) = 1 1 β X 。1 1β }0k= 2 : β + βX+ 这反映了变量包含的顺序在构建上无关紧要这一事实C:1 (7)C1 =2β2X1 + (21 12 2β + βX)01 1β2X2= 1 (∅k,X):1 3n–1，但对于某些包含的部分效果∈X jj{4, ...,n}总是C= βXjj j. 模型。在后两个子模型中，效果是β X X。因此，3 2 3 最后，我们验证分解： 2X+ β+23分解的参考值。对于“空”模型，其中不包含任何变量，分解是可加的。这在之前的结果中表现得很明显，其中分解不包括 β 的值。0 24. 非线性示例II：R3β 最后，我们考虑线性模型中决定系数的分解。我们自己的分解方法适用于非线性模型，结合了本例和前例的见解（参见奥多利等人 2024). 我们注意到这种分解方法最初是由以色列(2007)和胡特纳和桑德(2012）。最近的应包括尼科洛娃和克诺森(2020);恩格斯特罗姆、赫什和纽豪斯(2021);Biasi和Ma(2022());和贝亚西，拉福特，和肖恩霍勒泽(2025); 其中包括。X2X322= β nβxij+uji i j=1=f(X, , )– (3并定义的平均值为M 感兴趣函数为f(X,...,X RK2 ) = , 定义为解释总和的1 正方形SSE在总平方和之上SSTPM( ˆ 这使得它明确表明，尽管生成它的模型本身是线性的，但正在分解的函数是非线性的。2– )R 分解的参考值。2 在夏普利-欧文-肖洛克分解中，R的参考值由不含回归量的模型给出，满足XnSST 2因此，在这种情况下，分解能够恢复完整模型（包含所有变量）的 R 级别，这与前面的例子不 同。)∅R02) = PM2 分解当n=3.我们明确计算了分解式n= 3 回归变量。如前所述，我们通过仅列出每个子模型中包含的参数来滥用符号。每个变量的贡献是：i(yi–y) R我们对所有贡献求和，得到回退（X,1X2 2R2+R2+ =f(X, ,13R2=XX,X),2 3R2X1X3R X3361小时i 22将R与部分R分解。贡献的值不同于22偏R的标准定义。这是因为偏R是在排除回归变量的情况下进行的“其他条件不变”的比较。Xj. 然而，值得注意的是，部分2R不满足精确分解要求或（当迭代应用时）对称性要求。 5. 摘要 当研究由各种因素相互作用产生的非线性结果时，如大多数经济应用中的情况，Shapley-Owen-Shorrocks分解提供了一个有效的替代方案。该分解具有可加性，对因素对称，并且自然地允许一组共同变化的因素。 尽管分解已经为一些作者和一些语境所使用，但仍有一些例子表明它可能是有用的。我们通过强调其中一些来结束。c 示例。德纳迪，法国，琼斯和M Gee(2025)将各种因素对退休储蓄的贡献在结构化生命周期模型中进行分解，但不提供加性分解。中島和特留科娃(2020) 在其正文中提供了一种单一消除顺序的分解，但（值得称赞！）为各种