1-4 曲率视角下的图网络建模与分析

曲率视角下的图数据分析与学习

01. 引言：曲率与网络数据

• 数据形式：网络数据（社交网络、电信网络、药物相互作用等）普遍存在。
• 图数据分析内容：图结构、度分布、直径、最短路径长度、稀疏性、图几何（曲率）、表示学习（嵌入、图神经网络）。
• 曲率定义：几何属性，衡量物体平坦程度，即距离球体积的增长率（“测地线分散”）。
• 曲率在几何中的应用：通过测地线球体积的增长率判断地球是否平坦（截面曲率与黎曼曲率）。

02. 网络上的曲率

• 离散黎曼曲率：
  • Ollivier-Ricci曲率：基于最优传输，强调聚类。
  • Forman-Ricci曲率：基于分散，强调网络动态。
• 曲率计算：
  • Forman-Ricci：考虑三角形数量（∆uv）量化顶点扩散程度。
  • Ollivier-Ricci：计算x的邻居到y的邻居的距离与xy长度的比较（最优传输距离）。
• 网络曲率示例：
  • 零曲率：二维网格。
  • 负曲率：kx,y=1/dx+1/dy-1, dx为x的度。
  • 正曲率：完全图。
• 曲率分布：社区内为正曲率，负曲率边作为连接集群的“骨干”。
• 应用：
  • 市场脆弱性分析：Ollivier-Ricci曲率作为资产回报模型的崩溃标志。
  • 社区检测：Ollivier-Ricci曲率发现图中的层次结构。
  • 脑结构分析：网络曲率作为脑结构连接的标志。
  • 图神经网络：曲率指导消息传递，缓解过度压缩问题。

03. 曲率在曲面上的应用：表示学习

• 表示学习核心：将数据嵌入连续空间，质量取决于空间的几何形状是否匹配数据集。
• 欧几里得空间的局限性：不适用于许多图（如循环、树）。
• 双曲空间的优势：
  • 适用于树状结构或幂律分布的网络。
  • 节点呈指数增长，双曲模型（洛伦兹模型和庞加莱球模型）更合适。
  • 双曲图卷积神经网络（HGNN）更分层地排列节点。
• 双曲空间应用：
  • 词嵌入：Probing BERT在双曲空间中。
  • 知识图谱嵌入：建模异构层次结构。
  • 药物生成：半监督分层药物嵌入。
  • 细胞分析：Poincaré地图分析单细胞数据中的复杂层次结构。
  • 图像检索：无监督双曲度量学习。
  • 推荐系统：HRCF通过双曲几何正则化增强协同过滤。
  • 动态链接预测：双曲空间中隐式分层学习的时间网络嵌入。

04. 挑战与机遇

• 挑战：领域应用、复杂结构、动态交互、几何感知学习、可信赖与可扩展性。
• 机遇：双曲图神经网络（HGNN）的综述与应用。

05. 核心观点与结论

• 曲率是理解和分析网络的 promising 工具。
• 内在曲率：拓扑度量（离散黎曼曲率、Ollivier-Ricci曲率、Forman-Ricci曲率等）。
• 外在曲率：学习空间（欧几里得空间、双曲空间、混合曲率空间）。