方差分析(一)：矩阵收缩法

2023年12月29日 方差分析（一）矩阵收缩法 核心观点： 分析师 协 方 差 线 性 非 线 性 收 缩。介 绍 了 单 参 数 对 角 矩 阵 、双 参 数 目 标 矩 阵 、等 相 关系 数 矩 阵 、 同 迹 对 角 矩 阵 、 单 因 子 市 场 模 型 矩 阵 线 性 收 缩 方 式 以 及 三 种 不 同的 非 线 性 方 式 。 采 用 随 机 蒙 特 卡 洛 方 法 对 比 收 缩 前 后 特 征 值 的 变 化。 协 方 差 矩 阵 收 缩 实 证。采 用 单 行 业 股 票 组 合 ，与 经 验 方 差 相 比 ，采 用 线 性 收缩 的 组 合 的 当 期 波 动 率 要 小 于 直 接 采 用 经 验 方 差 的 组 合 ， 而 非 线 性 手 收 缩 方法 基 本 与 经 验 方 差 得 到 的 最 小 方 差 组 合 没 有 差 异 。 采 用 单 因 子 市 场 模 型 的 收缩 后 构 建 的 组 合 方 差 是 大 于 采 用 经 验 结 果。 风 险 提 示 ：报 告 结 论 基 于 历 史 价 格 信 息 和 统计 规 律 ， 但 二 级 市 场 受 各 种 即 时性 政 策 影 响 易 出 现 统 计 规 律 之 外 的 走 势 ，所 以 报 告 结 论 有 可 能 无 法 正 确 预 测市 场 发 展 ， 报 告 阅 读 者 需 审 慎 参 考 报 告 结 论。 相关研究 目录 （一）单参数对角矩阵....................................................................................................................................................................4（二）双参数目标矩阵....................................................................................................................................................................6（三）等相关系数矩阵....................................................................................................................................................................8（四）同迹对角矩阵......................................................................................................................................................................10（五）单因子市场模型矩阵.........................................................................................................................................................12（六）非线性压缩..........................................................................................................................................................................14 五、风险提示..............................................................................................................................................................................21 一、理论基础 在 研 究 协 方 差 矩 阵 ， 平 方 损 失 函 数 为 p/n有 三 种 情 况 ， 趋 于0，即 传 统 统 计 估 计 ；2趋 于 常 数 ， 即 所 谓 的 大 维 度 数 据 ；3趋 于 无 穷 大 ，就是 高 纬 数 据 。 虽 然 样 本 方 差 是 整 体 方 差 的 无 法 估 计 ， 但 是p/n较 大 时 ， 会 发 生 扭 曲 。Stein提 出 了 正 交 不 变 估 计 。p/n>1时 ， 样 本 方 差 是 半 正 定 的 。Ledoit和Wolf提 出 一 种 将 目 标 方 差 和 样 本 协 方 差 结 合 在 一 起 的 方 法 。 将 一 个 所 谓 目 标 结 构 化 的 协 方 差 估 计F和 样 本 协 方 差S通 过 线 性 结 合 在 一 起 。 将 其 称 之 为 “ 收 缩 ”（shrinkage）， 其 中ó是 收 缩 常 数 。 令yit代 表 股 票t时 刻 的 收 益 率 ，记 Σ 为 总 体 方 差 ，S代 表 样 本 方 差 ，rij代 表 样 本 的 相 关 系 数 。特 别的 对 于 矩阵F元 素 通 过 以 下 来 代 替 这 里 损 失 函 数 采 用Frobenius范 数构 建 函 数 通 过 求 解 得 到 ： π的 一 致 估 计 量 为 ,,11ˆˆˆˆ()2NNNjjiiiiii ijjj ijiiijiijjssrss 其 中1112(1)NNijijirrN N  2,...1ˆ{()}{()()}Nii ijitiiiitijtjijiyysyyyys2,...1ˆ{()}{()()}Njj ijjtjiiitijtjijiyysyyyys是[,]iiijAsyCovT sT s和[,]jjijAsyCovT sT s的一 致 估 计。γ的 一 致 估 计 估 计 量 为211ˆ()NNijijijfs 二、协方差线性非线性收缩 关 于 收 缩 举 证 的 验 证，这 部 分（ 一 ）到（ 五 ）是 线 性 收 缩 的 方 法 ，给 出 五 种 不 同 的 目 标 协 方 差 矩 阵 ，第 六 部 分 给 出 几 种 非 线 性 收 缩 的 方 法 。 （一）单参数对角矩阵 目 标 协 方 差 矩 阵 为 对 角 矩 阵 ， 对 角 元 素 设 定 为 变 量 方 差 的 均 值 ， 非 对 角 元 素 设 为 零 。 0000000ccFc 11var()NiicyT 这 时 对 应 计 算 收 缩 系 数 时ρ 的 一 致 估 计 估 计 量的 对 角 元 素 和 非 对 角 元 素 均 为 零 。这 里 我 们 生 成 一 个200维 度 的 随 机 矩 阵 。 通 过 蒙 特 卡 洛 方 法 ， 计 算 其 收 缩 系 数 的 具 体 数 值 。 为 方 便 对 比 ，这 里 先 暂 不 进 行 收 缩 矩 阵 的 计 算 ，且 对 应 计 算 收 缩 系 数 时 不 做 大 小0到1之 间 的 截 断 ，直 接 取κ/T。横 轴 表 示T=50、100、200、500、1000不 同时 间 长 度 。随 着 参 与 计 算 协 方 差 时 间 序 列 的 增加 ， 收 缩 系 数 开 始 向1靠 拢 。 图 中 给 出 的 是 收 缩 前 后 协 方 差 矩 阵 的 特 征 值 对 比 。横 轴 表 示 的 是 特 征 值 的 大 小 ，纵 轴 是特 征 值 的概率 密 度 分 布。在T=500、1000明 显 看 出 经 验 协 方 差 矩 阵 特 制 值 分 布 类 似 一 个 半 圆 。时 间 上 当N/T等 于 常数 ，T趋 于 无 穷 时 ，随 机 向 量 协 方 差 矩 阵 收 敛 于Marcenko-Pastur分 布 ，而 收 缩 的 特 质 值 是 位 于1附 近 。关 于 随 机 矩 阵 的 情 况 在 后 续 研 究 报 告 会 专 门 讨 论。 图 中 给 出 的10次蒙 特 卡 洛 结 果（ 取T=200）。进 一 步 ，在 随 机 时 间 序 列 里 加 入 一 些 信 号 ，观 察 收 缩前 后 对 应 特 征 值 收 缩 的 情 况 。 资料来源：wind，中国银河证券研究院 从 上 图 我 们 看 到Marcenko-Pastur分 布 最 大 值 之 上 的 特 征 值 就 是 所 谓 的 信 号 ； 在 采 用单 参 数 对 角 矩阵 收 缩后 ， 无 论 是 噪 声 还 是 信 号 都 向 中 间 收 缩 （ 分 别 给 出T=2000、200的 情 况 ）。 （二）双参数目标矩阵 目 标 协 方 差 矩 阵 为 对 角 矩 阵 ， 对 角 元 素 设 定 为 变 量 方 差 的 均 值 ， 非 对 角 元 素 设 置 为 相 同 常 数 。 11var()NiicyT 这 里 我 们 生 成 一 个200维 度 的 随 机 矩 阵 。 通 过 蒙 特 卡 洛 方 法 ， 计 算 其 收 缩 系 数 的 具 体 数 值 。 为 方 便 对 比 ，这 里 先 暂 不 进 行 收 缩 矩 阵 的 计 算 ，且 对 应 计 算 收 缩 系 数 时 不 做 大 小0到1之 间 的 截 断 ，直 接 取κ/T。横 轴 表 示T=50、100、200、500、1000不 同时 间 长 度 。随 着 参 与 计 算 协 方 差 时 间 序 列 的 增加 ， 收 缩 系 数 开 始 向1靠 拢 。 图 中 给 出 的 是 收 缩 前 后 协 方 差 矩 阵 的 特 征 值 对 比 。横 轴 表 示 的 是 特 征 值 的 大 小 ，纵 轴 是 特 征 值 的 概率 密 度 分 布 。在T=500、1000明 显 看 出 经 验 协 方 差 矩 阵 特 制 值 分 布 类 似 一 个 半 圆 。时 间 上 当N/T等 于 常数 ，T趋 于 无 穷 时 ，随 机 向 量 协 方 差 矩 阵 收 敛 于Marcenko-Pastur分 布 ，而 收 缩 的 特 质 值 是 位 于1附 近 。关 于 随 机 矩 阵 的 情 况 在 后 续 研 究 报 告 再 讨 论 。 图 中 给 出 的10次 蒙 特 卡 洛 结 果（ 取T=200）。进 一 步 ，在 随 机 时 间 序 列 里 加 入 一 些 信 号 ，观 察 收 缩前 后 对 应 特 征 值 收 缩 的 情 况 。 从 上 图 我 们 看 到，在 采 用双 参 数 目 标 矩 阵收 缩后 ，无 论 是 噪 声 还 是 信 号也都 向 中 间 收 缩（ 分 别 给 出T=2000、200的 情 况 ）。 （三）等相关系数矩阵 目 标 协 方 差 矩 阵保 留 对 角 线 元 素，非 对 角 线 采 用 平 均 相 关 系 数 得 到。 varijijr  r是 检 验 矩 阵 相 关 系 数 均 值 。 这 里 与 前 文 保 持 一 致 ，生 成 一 个200维 度 的 随 机 矩 阵 。 通 过 蒙 特 卡 洛方 法 ， 计 算 其 收 缩 系 数 的 具 体 数 值 。 为 方 便 对 比 ，这 里 先 暂 不 进 行 收 缩 矩 阵 的 计