累积风险溢价

由阿尔伯特（皮特）·S·凯勒、卡拉姆菲尔·托多罗夫 货币与经济部门 2023年10月 JEL分类：G1, G12, G13, G23 关键词：累积量，杠杆，ETF，因子模型，VIX，动量，期权 国际清算银行（BIS）工作论文由货币和经济部门成员撰写。国际清算银行部门，以及其他机构不定期提供。经济学家撰写，并由该银行出版。论文涉及当前热门主题。兴趣和性质是技术性的。其中表达的观点是他们自己的观点。作者的观点并不一定是BIS的。 此出版物可在BIS网站（www.bis.org）获取。 © 国际清算银行 2023。版权所有。在注明出处的情况下，可以复制或翻译简短摘录。 国际标准连续出版物号1020-0959（印刷版）ISSN 1682-7678（在线版） 连串风险溢价 一个马里兰大学，罗伯特·H·史密斯商学院，askyle4@umd.edub国际清算银行，karamfil.todorov@bis.org阿尔伯特·S·（皮特）·凯勒一个, 卡拉米尔·托多罗夫b 摘要 我们开发了一种基于杠杆ETFs（交易所交易基金）的新型方法来衡量高阶累积量的风险溢价（与分布的矩密切相关）。我们表明，这些ETFs的风险溢价反映了物理累积量与风险中性累积量之间的差异，我们称之为累积量风险溢价（CRP）。我们显示，CRP在资产类别（股票、债券、商品、货币和波动率）中不为零，并且在压力时期较大。我们说明了高度杠杆策略对高阶累积量极为敏感。我们的结果对对冲基金、因子模型、动量策略和期权有影响。 关键词：累积量、杠杆、ETF、因子模型、VIX、动量、期权JEL分类：G1, G12, G13, G23 1. 引言 许多市场动荡的案例，包括2020年3月的COVID-19危机，表明资产回报并非呈正态分布，且高阶矩在金融市场中的作用至关重要。我们如何以可操作的方式衡量不同资产类别高阶矩的风险溢价？现有文献中的经典方法是用期权投资组合（例如，Bakshi 等人(2003),施耐德和泽赫尔(2020然而，在实践实施这种方法时的问题在于，对于所有行权价，期权通常不可用，并且流动性差，尤其是在对于现金不足（OTM）行权价以及相对于股票的流动性较差的资产中。平均买卖价差超过74%。1难以从期权中推断出高阶矩，因为期权价格测量非常不精确。在本文中，我们开发了一种新的方法，基于杠杆ETF来量化高阶矩的风险溢价，这些ETF的流动性远高于期权，平均买卖价差仅为0.27%。274倍小于期权。我们在多个资产类别中实施我们的新方法：股票、债券、大宗商品、货币和波动性（VIX）。 杠杆ETFs（我们也将之称为“恒定贝塔资产”）是维持恒定杠杆的资产。β关于一个给定的基准指数：例如，一个双倍杠杆ETF（）β2) 在标准普尔500指数上的表现应该是在特定一天内该指数表现的两倍。为了保持恒定的β这些ETFs在指数变动时需要重新平衡（见城=并且Madhavan(2009）和Todorov(2019)).2我们表明，ETFs 通过这种动态再平衡，使它们暴露于更高阶矩之中。因此，通过观察杠杆化ETFs的回报，我们可以量化指数上更高阶矩的风险溢价。 我们使用累积量来以可处理的方式衡量高阶矩的风险溢价。累积量便于总结给定分布函数的主要特征，并且相比于非中心矩，累积量在工作时更加直观。在多个时期出现的对数收益的情况下，累积量的使用也更加方便。 我们的设定，并建模随机变量的线性组合。康瓦尔和费舍尔(1938描述在一般环境下累积量。马丁(2013是首先将累积量应用于金融研究的学者之一。第一累积量是分布的平均值；第二累积量是方差。希腊字母σ2；第三和第四累计量是偏度的乘积希腊字母σ3并且过度的峰度乘以 希腊字母σ4高阶累积量是矩的更复杂的多项式函数。对于对数正态分布，只有两个累积量，即均值和方差，而对于任何其他分布，除了方差之外，还有更高阶的累积量。 在论文的第一部分，我们展示了如何衡量来自常β资产对累积量的暴露。我们指出，常β资产的溢价风险是资产杠杆线性项的和。β并且是非线性的，它依赖于高阶幂β，按照指数的高阶物理和风险中性累积量的差异进行加权。我们将这些差异的总和称为累积风险溢价（cumulantrisk premium, CRP）在一个对数正态世界中，二阶累积量（方差）在物理和风险中性度量中是相同的，而三阶及以上所有累积量均为零。这使得资产的溢价中的非线性项为零，并且显著简化了分析，因为风险为零。β-倍杠杆策略仅仅是β倍于无杠杆策略的风险。然而，在任何一个其他世界中，资产风险溢 价中的非线性项通常支配线性项，因为高阶累积量（高达）的权重较大。β- 阶次) 在杠杆作用下呈多项式增长β这使得杠杆策略极其容易受到高阶累积量影响，使它们的风险远大于仅仅...β倍增无杠杆策略的风险。 什么因素创造了累积风险溢价？一个简单的例子是跳跃的情况：如果投资者在风险中性测度与物理测度下预期跳跃的强度和大小不同，这种风险就会反映在累积风险溢价（CRP）中。此外，跳跃创造了断点风险，这也导致了累积风险溢价。另一个例子是，如果状态变量有其自身的风险溢价，比如方差，那么...Heston(1993模型：如果投资者预期物理世界和风险中性世界中方差（均值回归速度和平均水平）具有不同的特征，这也将产生风险溢价，该溢价反映在CRP中。 我们表明，与期权类似，恒定贝塔资产构成了市场，并可用于复制任何收益。其直觉在于，通过知道恒定贝塔资产的价格， 所有可能β- 我们本质上观察了指数的整个分布。特别是，我们构建了一个基于简单的“同时做空”策略的收益，该策略涉及同时做空两种具有相反性质的资产。β-s（例如，-1 和 1）。此策略模仿市场做市商在交易具有恒定价值的资产时提供的流动性。β负号，并度量高于顺序的高阶偶累积（方差、缩放的峰度等）：收益的风险溢价。偶数序号CRP（CRPE）我们的理论表明，流动性提供带来的回报与更高阶的风险中性累积量呈正相关，这可以通过VIX来衡量。2（请提供需要翻译的英文文本）马丁(2015这些结果与现有证据相符纳格尔(2012) 美国股票的市场做市利润与VIX成正比。 在论文的第二部分，我们通过使用杠杆ETF来量化CRP。我们发现CRP的平均值为年度化-7.4%，这表明投资者为了对冲更高阶累积矩的风险而支付了溢价。CRP相对于基础指数风险溢价（IRP）高达100%以上。此外，我们通过非参数方法表明，除方差之外，更高的阶累积矩风险溢价也是解释大多数资产经验模式所必需的。我们发现，CRPE在大部分资产上的年度化值也为负，即-4.4%，这表明流动性提供者获得正的预期收益。在2020年COVID-19市场压力期间，许多资产类的CRPE超过20%。与IRP相比，这一溢价也具有显著意义（从绝对值来看）：对于石油为IRP的139%，长期国债为51%，标普500指数为46%。从提取CRPE的空多策略中获得的回报与VIX高度正相关，并且夏普比率超过一。 我们表明，跨资产短期双向策略收益的第一主成分（PC）可以用作全球市场压力的简单指数。与VIX或其他常用市场波动衡量指标相比，这一指标具有几个优势。首先，与VIX和其他基于单一资产的指数相比，我们的衡量标准基于多个资产类别，并从流动性提供者的角度考虑，该流动性提供者在全球范围内面临更高阶的累积量。我们表明，我们的指标在解释非股权资产收益时驱除了VIX，并在具有非线性收益的资产（如期权和CDS）中尤为重要。其次，我们的指数计算简单，也可以从杠杆ETF的观察价格中实时计算。它不涉及VIX或基于期权的偏度和峰度指数等更复杂且流动性较低的投资组合。第三，我们不做任何 关于资产收益驱动分布的假设以及“让数据说话”。我们的指数可以作为进一步研究中衡量全球市场压力的指标。 影响.我们的主要结果对未来高阶矩的风险产生了影响。普遍的错误观念是，随着高阶项数量的增加，这种风险会降低，因此，在金融学中，超出峰度的更高阶矩很少被研究。这一误解是由对高阶CRP项进行折现所驱动的。n!, 这使得高阶CRP项对于大规模贡献极小n我们的论文强调，这个论点对于无杠杆策略来说是正确的，但对于杠杆策略则存在显著缺陷，对于后者，高阶CRP项的贡献通常较大。增长up to theβ- 阶。例如，一个的负载。β10 策略在第 10阶 CRP 项达到峰值，该项的负载超过 2700，如图所示，以高度非线性的方式显示风险。因此，更具杠杆性的策略更容易受到更高风险的影响。=图1我们的论文表明，更高的杠杆率会增加订单累积量，并且这些累积量的微小变化也会被放大。此外，我们发现对于一些资产，如新兴市场股票，四阶及以上偶数阶累积量的贡献是显著的。 这些结果对于经常使用高杠杆利用相似资产间的定价错误的对冲基金等代理人有影响。这些代理人也常常采用涉及对特定因素相反敏感性的资产的战略：例如，收敛交易或相对价值策略（例如，现货-期货基差，详见）。Aramonte等。(2021)). 我们的研究结果表明，此类交易具有风险，因为它们面临着CRPE的影响。 我们的论文展示了一种与现有文献不同的方法来量化高阶矩的风险，通过使用交易所交易基金（ETFs）而不是广泛使用的期权。我们方法的优势不仅在于ETFs的交易成本低于期权，并且由于较小的买卖价差，能提供更精确的真实价值估计。与期权相比，杠杆ETFs也更容易复制，因为它们只需要通过保持Delta恒定来在基础资产中进行交易，而不需要估计任何其他敏感性。此外，精确的复制策略是模型无关的，并且是精确已知的。相比之下，期权通常难以精确复制，因为投资者需要考虑波动性等因素。 基础（vega）和其他敏感性（“希腊字母”），除了delta。这些敏感性的计算依赖于模型，并且通常不够精确，因为它涉及到对未来波动路径的估计，而这是未知的。 我们主要研究结果也适用于因子模型和投资组合理论。杠杆ETF提供了一个良好的环境来测试单因子模型中更高阶矩的影响，因为ETF只承担一个因子，而这个因子是可以完美观测到的（解决...）。滚动 (1997)评论)，并且它们的贝塔值在时间上是已知且恒定的（解决汉森和理查德(1987)评论。因此，杠杆ETF与其指数之间的定价关系等同于一个标准单因素模型，其中因素是指数，资产是杠杆ETF。我们的结果表明，标准单因素逻辑，即资产的风险溢价与因素的溢价呈线性关系，仅适用于因素回报率符合对数正态分布的情况，正如在Black-Scholes 模型(1973) 世界。单因素线性定价在具有非零高阶累积量的任何其他环境中都失效。3 我们的研究发现，多因素模型能够比单因素模型更好地拟合资产收益，这纯粹是因为附加的因素捕捉到了单因素高阶累积量的贡献。我们表明，一些标准因素（如动量）与偶数阶累积量差异正相关，这与这种逻辑相符。这一结果对广泛研究因素模型以解释资产收益的金融文献具有影响。我们的理论建议，除了添加更多线性因素之外，研究者还需要考虑单因素的高阶累积量（例如，市场投资组合）。 我们的方法也可以帮助解释证券市场线（SML）的平坦性。我们的结果表明，进行动量交易的Beta值高的资产通常具有负的CRP，这使得它们的回报率低于由资本资产定价模型（CAPM）预测的回报率。相比之下，如果Beta值小的资产的CRP为正，则它们应该有更高的回报率，这使得SML平坦。 本文的研究发现对动量策略也有启示。我们的结果表明，趋势追逐型“动量”策略面临着更高阶的累积量，这或许可以解释为什么这些策略的回报率会出现突然的暴跌，并表现出更高阶的矩。 相关文献.我们的研究涉及有关随机波动性和高阶矩的资产定价文献。马丁(2013) 将累积量应用于扩展Epstein-Zin对数正态消费基础资产定价模型，并允许一般独立且同分布（i.i.d.）的消费增长。Backus 等人(2011使用累积量来表明期权暗示极端结果发生的概率小于来自宏观经济数据的估计。我们的CRP与定义在以下内容中的熵相关：Backus 等人(2011)：CRP是物理熵与风险中性熵之间的差异。4Bakshi et al.